MARS

)i force de la rompre et de passer tout au travers, en perdant seule- » ment une partie de sa vitesse, à savoir, par exemple, la moitié. Or » cela posé, afin de savoir quel chemin elle doit suivre, considérons n de rechef que son mouvement diffère entièrement de sa détermina- >> tion à se mouvoir plutôt vers un côté que vers un autre, d'où il suit » que leur quantité doit être examinée séparément; et considérons

Fie. 56.

» aussi que, des deux parties dont on peut imaginer que cette déter-

» mination est composée, il n'y a que celle qui faisoit tendre la balle

» de haut en bas qui puisse être changée en quelque façon par la ron-

» contre de la toile, et que, pour celle qui la faisoit tendre vers la

» main droite, elle doit toujours demeurer la même qu'elle a été, à

)i cause que cette toile ne lui est aucunement opposée en ce sens là. "

3. (^Mais ce raisonnement n'esl-il pas un peu opposé au sens commun? L'extension qu'il en fait de la réflexion à la réfraction n'est-elle pas aussi un peu forcée? En la page i'5, il suppose que la balle va toujours d'égale vitesse, lanl en descendant qu'en remontant, (|u'elle continue son mouvement dans un même milieu ('); il en déduit, en la page ij, que la rencontre de la terre (-) peut bien empêcher la détermination qui faisait descendre la balle d'A vers CE, à cause qu'elle

( ' ) n Mais afin do ne nons embarrasser point en des nouvelles difficullés, supposons que la terre est parfaitement platte et dure, et que la balle va tousjours d'esgale vitesse, tant en descendant qu'en remontant... »

(^) « Et en suite il est aysé à entendre que la rencontre de la terre ne peut emposclior que l'une de ces deux déterminations et non point l'autre en aucune façon. »

Fermât. — II. 47

ŒUVRES l)i: TERMAT. - CORllESPONDANCE.

occupe loul l'espace qui est au dessous de CE, mais qu'elle ne [)eul point empêcher l'autre qui la taisoit avancer vers la main droite, vu ([u'cllc ne lui est aucunement opposée en ce sens-là; d'où il infère

l'égalité des angles de réflexion et d'incidence.

Fis. 53.

.Mais quand bien ce raisonnement seroit véritable en la réflexion, quelque sceptique scrupuleux ne manquera point d'alléguer qu'il y a trois circonstances en la réfraction qui doivent changer la conséquence, ou du moins servir d'empêchement à la recevoir sans nouvelle preuve :

Premièrement, en la ligure delà page 17 ou en celle de la page 18 ('), la balle ne continue pas son mouvement d'une égale vitesse, puisque, par la supposition, elle perd, par exemple, la moitié de sa vitesse dès le point B.

Secondement, elle ne passe pas toujours par un même milieu, comme il paroît en la figure de la page 18.

Et enfin la détermination qui la faisoit aller de haut en bas n'est pas tout à fait empêchée par la rencontre de la toile ou de l'eau, mais changée seulement ou diminuée.

Or, que la conséquence soit la même nonobstant la diversité de ces trois circonstances, il sera malaisé qu'un médiocre logicien le puisse accorder. Il alléguera pour excuse de sa logique scrupuleuse, qu'il n'a pas cru se faire grande violence, lorsqu'en la figure de la page 1 5 (//§■• >3) il a donné les mains que la détermination de la

O A CCS figures correspond celle que nous avons repi'oduilo plus liaul sous le ii" ."ili. d'après l'édition des Lettres de Descartes, de Clerselier.

XC bis. — 10 MARS 1658. 371

gauche à la droite restoit la même, puisque la balle allant toujours de même vitesse pouvoit conserver l'une de ses visées ou déterminations lorsque l'autre seule étoit empêchée; que d'ailleurs le mouvement se faisoit dans un même milieu; et qu'enlin, la détermination dé haut en bas étant entièrement empêchée, il n'y avoit pas grand mal de consentir que celle de la gauche à la droite restât tout entière : comme, quand on perd un œil, on dit que la vertu visive se conserve entière en celui qui reste.

Mais, en la réfraction, tout y est diliférent. Veut-on y obtenir le consentement de notre sceptique sans preuve? La détermination de la gauche à la droite demcurera-t-elle la même, lorsque toutes les raisons qui le lui avoient persuadé en la réflexion se sont évanouies? Mais ce n'est pas tout : il a sujet d'appréhender l'équivoque et, lorsqu'il aura accordé que cette détermination de gauche à droite demeure la même, il a occasion de soupçonner que l'auteur le chicanera sur l'explication de ce terme. Car, quoiqu'il ait protesté que la détermination est diff'érente de la puissance qui meut, et que leur quantité doit être examinée séparément, si notre sceptique lui accorde en cet endroit que cette détermination de gauche à droite demeure la même en la réfraction, c'est-à-dire qu'elle conserve la même visée ou direction, il y a apparence que l'auteur voudra l'obliger ensuite ii lui accorder que la balle, dont la détermination vers la droite n'est point changée, s'avance autant et aussi vite vers la droite qu'elle faisoit auparavant, quoique sa vitesse et le milieu par oîi elle passe soient changés.

Mais parce qu'il ne paroît pas sitôt qu'on veuille lui faire une si grande violence, il ne croit pas être encore temps de se départir du respect qu'il doit au nom de M. Descartes, et il veut bien lui avouer, sur sa seule parole, que cette détermination vers la droite demeurera la même, pourvu qu'il ne se parle point du temps que la balle doit employer à s'avancer de ce côté là : parce que M. Descartes même a avoué que la force qui meut et la détermination sont deux quantités qui n'ont rien de commun, et qu'elles doivent être séparément examinées).

■^-■l ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

4. « Puis, avant ilécrK du contre B le cercle AFD cl tiré h ansrles tlroils sur CBE les trois lignes droites AC, HB, FE, en telle sorte qu'il y ait deux Ibis autant de distanc(> entre FE et HB qu'entre ÎIB et AC, nous verrons que celte balle doit tendre vers le point I. Car, puisqu'elle perd la moitié de sa vitesse en traversant la toile CBE, elle doit employer deux fois autant de t(>nips à passer au-dessous, depuis B jusques à quelque point de la circonférence du cercle AFD, qu'elle

Fis, 56.

a fait au-dessus, à venir depuis A jusques h B. Et, puisqu'elle ne perd rien du tout de la détermination qu'elle avoit à s'avancer vers le côté droit, en deux fois autant de temps qu'elle en a mis à passer depuis la ligne AC jusques à HB, elle doit faire deux fois autant de chemin vers ce même côté ('). »

5. (C'est ici le guet-apens, et la trop grande crédulité de celui qui avoit franchi tous ses scrupules sur le premier article, reçoit en cet endroit une nouvelle attaque. L'auteur a sujet d'espérer que, puisque notre sceptique lui a déjà accordé que la détermination vers la droite restoit la môme, il ne doit pas le dédire non plus, que cette détermination ou cette visée et direction vers le côté droit ne soit également vile et n'avance toujours autant qu'elle faisoit auparavant.

Mais le sceptique commence à n'entendre plus raillerie et, s'il a consenti de bonne foi que la détermination vers la droite ne changeoit

(' ) Discours de la méthode, etc. A Leydo, CDI3CXXXV1II, p. i8 (2° pagination).

XC bis. - 10 MARS 1638. 373

pas, il proleste qu'il n'est point engagé à consentir qu'en changeant de milieu elle fasse toujours un égal progrès, puisque l'auteur a si souvent et si solennellement assuré que la détermination et la force mouvante sont tout à fait différentes et distinctes; et pour se confirmer en son doute, il ajoute que si, dans la figure de la page 17, la balle étoit poussée depuis H jusques à B, et qu'elle continuât son mouvement vers BG, le raisonnement de celui qui diroit :

« La détermination de la balle sur la route HBG n'est point changée au point B, car elle est la même, et le mouvement perpendiculaire se continue dans la même ligne HBG; donc cette balle avance autant et aussi vite au dessous de B qu'elle faisoit auparavant. »

ce raisonnement, dis-je, seroit ridicule, parce que la détermination ou direction du mouvement diffère de sa vitesse.

Pourquoi donc notre sceptique sera-t-il obligé d'accorder gratuitement et sans preuve que le mouvement qui se fait vers la droite dans la figure de la page 18 avance également vers le dit côté droit, après qu'il a changé de milieu? Ce n'est pas que cette proposition ne puisse être vraie, mais elle ne l'est qu'au cas que la conclusion que M. Descartes en tire soit véritable, c'est-à-dire que la raison ou proportion pour mesurer les réfractions ait été par lui légitimement et véritablement assignée. 11 ne l'a donc pas prouvée par une proposition si douteuse et si peu admissible.

En un mot, quand toutes les oppositions qu'on peut faire à son raisonnement seroient fautives, peut-il faire passer pour véritable ce qui n'est ni axiome, ni déduit par une conséquence légitime d'aucune première vérité? Les démonstrations qui ne forcent pas de croire ne peuvent point porter ce nom.)

Et croiriez-vous. Monsieur, que si la proposition de M. Descartes étoit démonstrativement prouvée, son évidence et sa clarté n'eussent pas percé les ténèbres de mon entendement, pendant vingt années qui se sont écoulées depuis notre ancien démêlé, puisque je vous ai protesté, dès le commencement de ma lettre, que je travaille sincèrement

37i ŒUVRES DE FKUM AT. — CORRESPONDANCE.

à me lircM- d'orrour, ot que je ne cliercho {|a'iui homit'lc prôloxlc à me ronilro? Je sorois même ravi d'établir riioiinour de M. Descaries aux dépens du mien, et je voudrois, s'il ni'éloit possible, en reconiioissaiil la vérité de sa preuve, ajouter avant que de finir :

Se clara videiHlaiu Obliilil el piirrt pcr iinctem in lucc l'cl'iilsiL ( ' ).

Il en sera pourtant ee (|ue M. le cbevalier Digby et vous, 3Ionsieur, trouverez bon. Je vous soumets à tous deux ma logique et ma mathématique, et je consens à ce que vous en fassiez un sacrifice à la mémoire de cet illustre, qui n'est plus en état de se détendre; mais, jusques à ce que vous ayez prononcé, je prétends que la véritable raison ou proportion des réfractions est encore inconnue et que Osàiv h YO'Jvxj'. y.v.-y.'. (-), en compagnie de tant d'autres vérités que l'avenir découvrira peut-être mieux que n'a pu faire le passé.

Excusez ma longueur et faites moi l'honneur de me croire, .Monsieur, Votre très humble et très affeclionné serviteur,

F"i:r,M.vr.

FERMAT A DIGBY

DlMANCIlli 7 AVIUL 1038.

{Conun. t'p., 07.)

Monsieur,

1- J'ai reçu les nouvelles solutions de la proposition (') de Monsieur Wallisius, que Monsieur Freniclc a ajoutées aux premières. Je

(') Virgile, Éne'idc, II, 58y-J90.

(5) Homère, Iliade, XVII, 5 14.

(') « Trouver doux nombres entiers carres tels que les sommes formées par cliacun d'eux et par ses parties aliquotes soient égales. »

Otlc question avait été proposée par W'allis dans sa Lettre à Digby (hi 21 novembre iliâ; i Comm. iG). Los solutions de Frcnicle sont dans sa Lettre à Digby (Com/ii. Si) que Bronnckcr reçut le j avril i658.

XCl. - 7 AVRIL 1G58. 375

suis ravi, aussi bien que vous, de l'abondance et fertilité de son esprit et de la grande facilité qu'il s'est acquise en ces matières. Je m'étois contenté de donner deux solutions en nombres premiers entre eux, et avois seulement indiqué qu'on pouvoit, par ma méthode, étendre la question à trois, quatre, cinq et plusieurs nombres de même nature. Mais, puisque Monsieur Frenicle m'a si avantageusement préoccupé, je n'ajoute plus rien à son travail, et je consens que ma petite et maigre solution demeure en vos mains.

2. Après avoir reçu la lettre de Monsieur Wallisius ('), je suis toujours surpris de quoi il méprise constamment tout ce qu'il ne sait pas. Les questions en nombres entiers ne sont point de son goût. Il s'imagine que je ne sais point les centres de gravité des hyperboles infinies, et il semble promettre sur la fin la quadrature de l'hyperbobs c'est-à-dire de celle d'Apollonius : car, pour toutes les autres, ni lui ni moi ne l'ignorons pas.

Je lui réponds succinctement :

3. Premièrement à ce qu'il dit que je fais grand cas des propositions négatives, comme qu'il n'y a que le seul quarré 25 qui, ajouté à 2, fasse un cube en nombres entiers; et encore qu'il n'y a que les deux quarrés 4 et 121 qui, ajoutés à 4. fassent des cubes, aussi en entiers ('-). H dit que ce sont des propositions ordinaires et nequc majus qiiid atit grandius insinuant quam si dicerein cubicidmm nulhim in integris esse t^el etiam quadratum qui, numéro G^juncUis, e/f/icial quadratum, .... vel etiarn nulles in integris eubos esse qui ab invicem distenl numéro vicenario nec, prœter 8 et 27, qui distenl numéro 19, etc. ; . . . , cujusmodi innumeras delerminationes negativas inpromptu esset comndnisci.

Je réponds que je ne fais point cas de toute sorte de propositions négatives; par exemple, celles qu'il rapporte et infinies de telle nature ne sont que des amusements d'un arithméticien de trois jours, et leur

(') Lellre 16 du Coinmercium cputolicuin. {f'oir la noie qui précède.) (2) fWr Lettre LXXXIV, 5.

raison est d'alionl roiimic cliaiii lip/nx cl to/isoriln/s (' ). De sorte que d'en inforer de là qu'il faut faire peu de compte de toutes sortes de propositions négatives, voyez. Monsieur, quelle logique! Mais je ne veux point d'autre preuve que celles (|ue je vous ai proposées sont du haut étage et dignes d'être rcchercliécs, c'est que ni lui, (]ui s'estime tant, ne les a pas encore démontrées, ni Monsieur Freniclc même, que je mets au-dessus de lui, sans lui faire tort; et ce dernier, qui connoit merveilleusement les mystères les plus cachés des nombres, ne les a pas méprisées.

4. Mais, parce que les nombres entiers ne plaisent pas à Monsieur Wallisius, en voici une autre, à laquelle il pourra s'occuper et en laquelle je n'exclus point les fractions (-) :

// n'y a aucun triangle rectangle en //ombres dont l'aire soit qiiarrèe.

5. Kt, pour lui faire voir que le défaut de connoissance de celte sorte de questions lui fera quelquefois concevoir plus grande opinion de ses forces qu'il n'en doit raisonnablement avoir, il dit qu'il ne doute point que le Mylord Brouncker ne résolve les deux questions (') :

Dalum numcrum cubum in duos cubos rationales dividere.

Dalum numerurn ex duobus cubis compositum in duos alios cubos rationales dividerc ;

ji> lui réponds qu'il pourra, par aventure, ne se mécompter pas (Ml la seconde, quoiqu'elle soit assez difficile, mais que, pour la première, c'est une de mes propositions négatives que ni lui ni le Seigneur Brouncker ne démontreront peut-être pas si aisément. Car je soutiens qu il n y a aucun cube en nombres qui puisse être dwisc en deux cubes ralionaux.

(') Horace, Sol. I, vi, 3.

(') Problcnio impossible. — Observation XLV sur Diopluinlo.

(3) Voir Lettre LXXXIV, 4 et 8. — Observations II cl IX sur Diopiiante.