VA — A + I eL 1 AA — 3 A -t

chacun desquels termes doit estre faict égal à un quarré, peut estre résolue en infinies manières.

Je vous advouc que la méthode dont je me sers pour cela n'est pas dans les livres, et que c'est une de mes inventions qui a quelquesfois cstonné les plus grands maistres et particulièrement Monsieur Frenicle, que j'estime très profond dans la cognoissance des nombres. Mais, puisqu'il semble que Diophante, Viete, Baehet et touts les autres authcurs dont les ouvrages sont venus jusques à moi, n'ont sçu qu'une seule solution en cette nature de questions, je ne suis point surpris que vous, mon Père, quoyque d'ailleurs très habille par l'adveu de touts les sçavants, n'ayés point tenté d'estendre vostre cognoissance au dessus de celle que donnent les livres.

Vous changerés sans doute d'advis par mon indication, et vous ne croirés pas cette nouvelle descouverte indigne de vostre recherche, principallement lors que je vous asseurerai, comme je fais à l'advance, que ma méthode est generalle et qu'elle sert à résoudre un nombre infini de questions qui ont esté jusqu'ici entièrement abandonnées.

Voici trois nombres différents des vostres qui satisfont à vostre question et qui peust-estre vous donneront l'accès aux solutions infinies.

Le proinior de ces trois nombres est !."oIk' ïp second osl i. le Iroi-

sinnc osl i^- .)i8b3

.le suis de (oui mon cœur, .Mon ncvcM'cud Père, vostre 1res humble

rt Ires acijuis serviteur.

Fermât.

A Tolose, le iC A' lOJy.

(Adresse) : Au révérend perc , le père Billv. de la compagnie de Jésus, à Dijon.

cm.

FERMAT A C ARC AVI (')

< AoiT 1659. >

{Correspondance Hurgens, n" G!)9.) (Bibl. Nat. fr. i3o'|0, f l;î9.)

... Si la ligne spirale n'est pas égale à la parabolique, tdle sera ou plus grande ou plus petite.

Soit premièrement plus grande, s'il est possible, et que l'excès de la spirale sur la parabole soit égal à X, dont la moitié soit Z.

Soient inscrites et circonscrites à la parabole et ii la spirale des ligures comme en la précédente (-), en sorte que la difl'érence entre les inscrites soit moindre que Z, et que la différence entre les circonscrites soil aussi moindre que Z; nous aurons cinq quantités qui vont toujours

(■') Publiée pour la pi'emiérc fois par M. Ciiarlcs Henry i Reclierclics, p. 17:1-17(1). — (^c frat;ment, envové par (larcavi à Huygens dans une JeUre daléc du lî sppleuibre lOJg. e.sl le dévclo(ipemcnl du dernier ihcorénic de VEi^aUU' cuire les lignes spirale ei parabolique démontrée à la manière des anciens. la<|ucllc fait ])artic des Lettres de A. Dcttnnvillc (Œuvres de Pascal, Y, pp. !\-?a à 4'>^)- La dcmonslration de Pascal, beaucoup plus brève. est faile également par l'absurde, mais sans hypolhèse sur le sens de l'inégalilé iiure la .spirale cl la parabole.

(^) Fig. 38 des Lettres de Dcttomùltc ; voir ci-aprcs fig. 93.

cm. — AOUT 1659. i39

en augmentant, savoir : l'inscrite en la parabole, la parabole, la circonscrite à la parabole, la spirale, et la circonscrite h la spirale.

Car il appert que la seconde, qui est la parabole, surpasse son inscrite et que la circonscrite à la parabole surpasse la parabole.

Or il paroit ([uc la quatrième quantité, qui est la spirale, surpasse aussi la circonscrite à la parabole : car, puisque (') l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite à la même parabole d'une ligne moindre que Z (ainsi que M. Dettonville l'a démontré), a fortiori la parab(de même diffère de la circonscrite de moins que Z. Or, par la supposition, la parabole est moindre que la spirale et la différence est 2Z. Donc, puisque la différence entre la parabole et sa circonscrite est moindre que la différence entre la même parabole et la spirale, la circonscrite à la parabole sera moindre que la spirale.

Laquelle spirale étant aussi moindre que sa circonscrite, il paroit que ces cinq quantités, à commencer par l'inscrite en la parabole, vont toujours en augmentant.

Mais puisque l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite d'une ligne moindre que Z, et que, par la construction, la circonscrite susdite à la parabole diffère aussi de la circonscrite îila spirale d'une ligne moindre que Z, donc l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite à la spirale d'une ligne moindre que 2Z.

Nous avons donc la première et la cinquième de ces cinq quantités, qui sont la plus petite et la plus grande, qui diffèrent entre elles de moins que de 2Z. Donc, a fortiori, la seconde et la quatrième, qui sont la parabole et la spirale, diffèrent d'une ligne moindre que 2Z cl par conséquent moindre que X; ce qui est contre la supposition.

Donc la spirale n'est pas plus grande que la parabole.

Qu'elle soit, s'il est possible, moindre que la parabole, et que l'excès soit X ou 2Z. Il faut faire les inscriptions et circonscriptions comme en la précédente partie de la démonstration. Nous trouverons ici cinq quantités qui vont toujours en diminuant : la circonscrite à la para-

(!) D'après le corollaire qui, dans les Lettres de Dettonville, précède immédiatemeiil le ihéorèmo repris par Fermât.

•liO ŒIIVKES 1)E FERMAT.- COHUESPONDANCE.

Iiolc, la parabole, l'iiisrrili,' vu la jiaraluilc, la spiralo, cl riiiscrile en la spirale.

La ])rtMiiii'ro paioil (''vicli'iiiiiiciil plus graiHlc (|U(' la sccoiulr cl la seconde (|ii(> la tniisièiiic.

Or on voil aussi (]ii(' la Iroisii'nu», (|ui es! rinscrilc en la |)araboie, surpasse la spirale : car, puis(|ne, par la dcrnonsdation de Al. Dcllonville, l'exeès de la circonscrite à la parabole sui' l'inscrite en la parabole est moindre que Z, a fortiori Vexce» de la jiaraludc sur son inscrite est moindre que Z.

Or, la parabole étant plus grande que la spirale, cl son exci's sur la dite spirale étant, par la supposition, 2Z, la parabole surpasse la spirale d'une plus grande quantité (|ue celle dont elle surpasse l'inscrite en la parabole, et, parlant, l'inscrite en la parabole est plus grande que la spirale.

Nous avons donc cinq quantités qui vont toujours en diminuant, savoir : la circonscrite à la parabole, la j)arabole, l'inscrite en la parabole, la spirale, et l'inserile en la spirale. Or la circonscrite à la parabole diirèrc de son inscrite de moins que Z, et l'inscrite en la dite parabole diirère aussi, par ^la construction, de l'inscrite en la spirale de moins que Z. Donc la circonscrite à la parabole, qui est la première des cinq quantités et la plus grande, dillcre de la dcrnii're des dites quantités, qui est la plus petite, d'une ligne moindre que aZ. Donc, a fortiori, la seconde quantité dillcre de la quatrième, c'est-ii-dirc la parabole de la spirale, de moins que de 2Z, c'est-à-dii'e de moins que de X : ce qui est contre la supposition.

D'où il résulte que la spirale n'est pas j)lus petite que la parabole; et partant, puisqu'elle n'est ni plus petite, ni plus grande, elle est égale, ce qu'il etc.