CIV. - SEPTEMBRE 1659. Ul
FERMAT A CARCAVI (').
{ Correspondance H nj'^ens, n" 700.) (Bibl. liât. fr. i3o'|0, f» 139-liO.)
1. ,1'onvoyai rannéo passée à M. Frenicle la démoiislralion par laquelle je prouvois qu'il n'y a aucun nombre que le seul 7 qui, étant le double d'un quarré — i, soit la racine d'un quarré de la même nature, car 'iç) est le double d'un ([narré, 2"), — i.
2. Je veux même que M. de Zulichem voie que cette comparaison des lignes spirales et paraboliques se peut rendre plus générale, et peulèlre sera-t-il surpris de lire la proposition suivante, dont je lui garantis la vérité :
En la figure 38 de M. Dettonvillc (Jig- 9'i). on peut considérer les spirales quarrées, cubiques, quarréquarrées, etc., tout de même que les paraboles cubiques, quarréquarrées, etc.
Si la spirale ordinaire, en laquelle comme toule la circonférence à la portion EiSB, ainsi la droite BA à la droite AC, se compare avec la parabole ordinaire en laquelle comme la droite RA à la droite 6A, ainsi le quarré de la droite RP est au quarré de la droite GQ, et le rapport est tel :
Si AR est faite égale à ^ de la circonférence totale, et l'appliquée RP au rayon AB, la ligue parabolique PQ.\ sera égale à la spirale Bt^DA, comme le démontre M. Dettonville.
Mais en prenant la spirale quarréc, qui est celle du second genre, en laquelle comme toute la circonférence est à la portion E8B, ainsi
(') Publiée pour la première fois par M. Charles llonry (Rcc/ierrhes. p. 176-177). — Cet extrait, envoyé par Carcavi à Hiiygens en même temps que le précédent, provient d'une lettre postérieure de l'^crmat.
FiinjiAT. — H. 5o
Vi-2 Œl'VRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.
le quarri' du rayon AB est au (luarrc du rayon A(^ on peut la coni-
Kig. o'i-
parer avec la parabole cubique, qui est la parabole du second genre. Soit fait^ en la parabole cubique, l'axe AR égal aux | de la circonfé-
ronce tolalc, et l'appliquée RP aussi égale au rayon AH ; la parabole AP du second genre sera égale à la spirale du second genre BCDA.
Si la spirale est cubique, il la faudra comparer avec la parabole quarréquarrée, et faire les f de la circonférence totale égaux à l'axe AR de la parabole quarréquarrée, et l'appliquée RP toujours égale au rayon AB.
La parabole quarréquarrée PQA, du troisième genre, sera égale à la spirale cubique du troisième genre en laquelle comme toute la circonférence à la portion E8B, ainsi le cube du rayon AB au cube du rayon AC; et à l'infini, en augmentant toujours chaque numérateur et dénominateur de la fraction, de l'unité :
L'ave (le la parabole ordinaire étant ... |^ de la circonférence,
L'a\e de la parabole cubique f de la même circonférence,
L'axe de la parabole quarréquarrée ... |
L'axe de la parabole quarrécubique ... |
Puis |, etc.
D'oii il est aisé de conclure qu'il y a des spirales dans cette progression qui sont plus grandes que la circonférence du cercle qui les produit, mais qu'elles sont toujours moindres que la somme de ladite circonférence et du rayon.
Voilà un paradoxe géométrique, sur lequel peut-être M. Dettonville et M. de Zulichem n'ont pas encore rêvé. En tout cas, je les supplie de croire que je ne l'ai point de personne, et que ma méthode dont vous avez le chiffre longtemps avant que le Livre de M. Dettonville partit, est la source de beaucoup d'autres belles découvertes sur le sujet des lignes courbes comparées, ou avec des droites, ou avec d'autres lignes courbes de diverse nature. Je vous en dirai peut-être un jour qui vous surprendront.
3. M. de Zulichem désire encore savoir si ma méthode s'étend à tix)uver la dimension des surfaces courbes des conoïdes et des sphéroïdes. Vous pouvez l'assurer que oui, et qu'elle va encore bien plus loin. Il m'entendra assez lorsque je lui assurerai :
1° Que je n'ai point vu aucune de ses propositions sur ce sujet;
VVi (EIVUKS DE FERMAT. - CORRESI'ONDANCK.
■j." Ouo la surt'iicc du coiioïdc [iiiiali(ili(]Ui' atilour de l'axe se li'oiive par la lèi^lo ol It* compas iM csl un probli-mc plan;
Que les sui laces des cdiuudes liy|ieil)()li(|ues cl sphéroïdes suppdsciil la (|ua(lratuic de l'iiv perliolc cl (]U(d(|ucs fois de l'cdlipse,
Va qu'(Mitiu le couoïdc parabolique autour de rappli(|ué(> f'ail une surlace cour!)e i|ui suppose, pouréire (>xaclciueii( niesui'ée, la (|uadi'alurc de l'iiyperholc.
Je puis nièiuc donuei' une ligne dioile égale ii loulc poilion de parabole doniioe, en supposant la quadrature de rii\[)erbole, c'est-à-dire do l'ospace hypcM'bolique.
J'ajoulorois toutes les constructions do uies propositions, mais le loisir me man(|ne.
FERMAT A C ARC AVI (')
(Corresp. Huyg., 11° ITi .)
. . . On peut considérer les roulettes allongées ou raccourcies d'uniautre manière que n'a fait M. Dettonville :
Supposez qu'en la roulette ordinaire les seules appliquées soient allongées ou raccourcies proportionnellement, c'est-à-dire que, l'axe demeurant le même, chacune des appliquées est augmentée de la moitié ou hien raccourcie de la moitié, auquel cas il se produit des courbes nouvelles : celles des appliquées allongées sont au dehors de la roulette et celles des appliquées raccourcies sont au dedans.
Je dis que toutes les roulettes allongées en ce sens sont égales à la somme d'une ligne droite et d'une circulaire, et que toutes les roulettes accourcies au même sens sont égales à des courbes paraboliques.
Par exemple, soit une roulette allongée dont les appliquées soieni aux appliquées de la roulette naturelle comme le diamètre d'un quarré à son coté, je dis que cette roulette allongée, prise tout entière, c'est-à-dire des deux côtés, et que par la construction vous voyez être plus grande que la naturelle, est égale à la circonférence
(') Fragmenl envoyé par Carcavi à Huygens le 6 mars 1660. — • Publié pour la première fois par M. Ch. Henry (Pierre de Carcavy, p. 3i).
(lu ciM'cK' gonéralour do la l'oult'ltc iialiirellc et au double do son dia-
Illi'Il'C.
Jo pouiTois ajouter le théorème général pour tous ees cas, c'està-dire pour l'iiiveiilion des paraboles égales aux roulettes accourcies et pour l'invention de l'agrégé des droites et des circulaires égales aux allongées. Mais ce sera pour une autre fois. Ma méthode générale ne dépend que du chiffre que je vous envoyai l'année passée, avant que j'eusse vu le Livre de M. Dettonville. . . .
KKRMAT A CARCAVI (')•
<jLiN 1660 >
{Cvrresp. Hur^. ^ n°* 75ô. )
... 1- Data quadralurà hyperboles, datur circulus sequalis supertlciei curvae paraboles circa applicalam rotatae.
Sit data parabole AD (fig- 95), cujus axis AE, applicata seu semi-
basis DK, rectum latus ABC. Quairilur circulus apqualis superficiei curva' solidi quod ex rotatione figura? ADE circa applicatam DE tanquam immobilem circumductœ conficitur.
(^) Fragments envoyés par Carcavi à Huygens le 25 juin iGGo. — l'ublics pour la première fois par M. Ch. Henry {Pierre de Carcavy, p. 33-34 )•
ii7
Bisecetur latus rectum AC in B et axi AE ponatur in directuni recta EF aequalis rectae AB seu dimidio recti lateris, et jungatur DF.
Exponatur separatim recta IQ {fig. 96) œqualis axi AE, cujus dupla sit recta IR; fiât
ul FE sive AB ad PF, ita recta QI ad reclam QII,
et a puncto H ducatur HG perpendicularis ad HIR, et fiât HG seqiialis rectae DE. Per punctum I tanquam verticem describatur hyperbole cujus transversum latus sit recta IR, centrum Q, et transeat hyperbole per punctum G et sit IG.
Describatur item alia hyperbole separatim {fig. 9G), cujus transversum latus MN sit sequale quartae parti recti paraboles lateris, hoc est
Fig. 96.
quartae parti rectae AC; centrum vero sit V, rectum latus OVP aequale transverso lateri. Sit autem hyperbole ita descripta MK, cujus vertex M, axis ML qui continuetur donec recta ML sit aequalis axi paraboles AE, et ducatur perpendicularis seu applicata LK. A rectangulo sub QH in HG deducantur duo spatia hyperbolica IGH, MKL, quorum quadraturae supponuntur, et quod supererit aequetur quadrato.
Vis Πr \ I J F. S 1) K K K II M AT. - C O H R E S P 0 N 0 A N C K.
Diagoiiia isliiis (iiiath'ali cril radius circuli suj)crticioi rurva', ciijiis iliiiiciisioiu'iii quariinus, a'qiialis (^').
2. Ksto oyclois priinaria ANIF (X.^". 97), ciijiis axis AD. seiiiihasis nr. t'I ab eà formonlur aliœ curva.' vel extra ipsaiu vcl iiilra. ([uaniiii applirata' siiil soinpor iii càdoin ratiniio data ad applicalas |iri maria' cycloidis.
Kxonipli gratia, in ciirva oxteriori AMMG diicanliir applicata- GFl), HIC, 3FNB; ratio autom GD ad DF sit data et sit semper eadem qua* H(J ad CI et ^IB ad BN. In curvà autem interiori AROE, ratio FD ad DR sit data et sit semper eadem qiise IC ad CO et NB ad RB.
Dieo contingere ut curvœ exteriores, qualis est AMHG, sinl semper a'quaies aggrcgato linese eircularis et linea» rectae; curv* autem inlel'iores, qualis est AROE, sint semper a^juales parabolis primariis sive Arehimedeis.
ïheorematis generalis enunciationem , quando vcdueris, exliibebo, inio et demonstrationem (- ).
iCortc^ipnndnncr //lOi^e/is, ir 7jG.)
-î. l'dur me sauvrr un jii'ii (b' i'ai-cusaliini (b' .M. (b^ Znlyclu'in, (jiii dit que mes spirab's n'ont pas des jtropi'iélés qui soient autrement consi(b''rables(^), vous |)oni'r(>z, si vous voub'z, lui proposer eeUe qui suit :
(•) Cniiipfircr la Proposilion II ;i Lalouvrre, I. I, |). ioo. (') Comparer la proposition IV à Lciloiivi-re, I. I, p. 202 Cl siiiv.
(') LoUre (le llinijons à Carcavi du -^G fcvriei' 1C60 (Corr. Hiiyg.. 11° liH) : « La rnn\paraiifnn des autres sortes de spirales avec les liijncs |)aral)oloïdes ipic dimne M. do
