CXVII. — 1G

Pour y parvenir, je fais

comme BF à AF, ainsi FO à FH, et

comme la même BF à FM, ainsi FO à FI.

Puisque BF est plus grande que AF, donc FO est plus grande que FR et, puisque AF est plus grande que FM, FR est aussi plus grande que FI, et il parait même que

FR est à FI comme AF à FM;

car, puisque, parla construction,

comme AF est à FB, ainsi FR à FU, et

comme FB à FM, ainsi FO à FI,

donc, ex œquo,

comme AF à FM, ainsi FR est à FI.

Je dis donc que les deux droites CO cl OH sont plus grandes que les deux droites DF et FH. Car, par Euclide, au triangle amblygone FHO, la somme des deux quarrés HF et FO est égale à la somme du quarré HO et du rectangle MFO pris deux fois; or, puisque nous avons fait

comme BF ou FH à FM, ainsi FO à FI,

donc le rectangle sous les extrêmes HFI est égal au rectangle sous les moyennes MFO, et le rectangle HFI pris deux fois est égal au rectangle MFO pris deux fois : nous avons donc la somme des deux quarrés HF et FO égale à la somme du quarré HO et du rectangle HFI pris deux fois. Mais le rectangle HFI pris deux fois est égal au rectangle HIF pris deux fois et au double quarré de IF; et le quarré HF, par le même Euclide, est égal au rectangle HIF pris deux fois et aux deux quarrés HI et IF : nous avons donc, d'un côté, le quarré HI, le quarré IF, le rectangle HIF deux fois pris et le quarré FO égaux au quarré HO, au rectangle HIF deux fois pris et au quarré FI pris deux fois. Otez de part et d'autre le rectangle HIF deux fois et le quarré FI : reste, d'un côté, le quarré HI avec le quarré FO égaux aux deux quar-

Vl)2 ŒUVRES 1) F. F I-: H M A 1' . - t , 0 IU5 E S P 0 N 1) A N C E .

l'és 110 ri 11". .Mais le (|iiarri' KO est plus graïul (iiio le (Hiarri- I"i, puisqiu". par la coiislriu-lion , KO ost pins grande quo Kl : donc le (|nairo HO est plus grand (|iif le (jnarrr 111, el pailanl la droite 110 esl pins grande (|ne la droite HI.

Si je prouve ensuite (pie la droite ('.0 est plus grande que les deux droites DK et Kl, il restera prouvé que les deux CO et OH sont plus grandes que les trois DF, Kl et IH, ou (jue les deux DK el KH : je prouve donc le requis.

Dans le triangle amblygonc BKO, par Enclide, le quarré BO est égal il la somme des quarrés BK et KO et au double rectangle AKO; mais, puisque nous avons fait, par la construction,

comme 1>F à FA, ainsi KO à Fit,

donc le rectangle sous BK et KR est égal au rectangle AKO, et par conséquent le quarré BO est égal aux quarrés BK et KO et au rectangle sous BK, KR deux fois pris. Mais le quarré KO est plus grand que celui de FR, puisque la ligne KO a été prouvée plus grande que la ligne FR : donc, si vous substituez le quarré de "KR au lieu de celui de KO, le quarré BO sera plus grand que les deux quarrés BK, KR et le rectangle BFR deux fois pris. Mais ces dernières sommes sont égales, par Enclide, au quarré des deux droites BF et FR prises comme une seule : donc la droite BO est plus grande que la somme des deux droites BF et FR. Mais nous avons prouvé que

HF esl à IF comme Al*" à FM, c'est à dire comme BF à FI),

(jui est la mesure de la diversité des mouvements : donc,

comme la somme des deux antécédents BF el FR esl à la somme des deux conséquenls DF el FI, ainsi BF à VU.

Or donc

BO esl à OC comme BF à FI) :

comme HO esl à OC, ainsi la somme des deux droites BF el FR esl à la somme des deux droiles DF el FI.