IV. {T'oir ci-avaiil. LcUre VI, 7, noie
V. On demande aussi un nombre dont les parties aliquotes fassent le double et, pour ee qu'on en a déjà trois qui sont 120, 672 et 52377G, il est question de trouver le quatrième.
Le.* rensei^nomcnls lires do la correspondance de Uescarles sont conlradicloircs; dans une lellro à .Mersenni' du 22 juin i638, il dit (éd. Clersclier, 11, 88) :
n Je serai bien aise de savoir si les réponses de M. Fermât ont satisfait davantage " M. de Sainle-Croix que les miennes; mais pour moi, je trouve plaisant que, de quatre ■• questions, n'y en ayant qu'une qu'il résout à peine en donnant un nombre qui y satis- ■< fait, il ne laisse pas de faire des bravades sur ce sujet, disant qu'il ne se contente pas » de résoudre ces questions à la modo do M. de Sainte-Croix, etc., et en propose une :i autre toute semblable et nir-me qui est bien ])lus aisée. »
l,e jo juin 16ÎS (éd. Clorselier, III, (i2), il écrit d'autre part à Mersenno :
« Je lui ai aussi proposé (à Gillot) la quatrième question de M. de Sainte-Croix qui est » de trouver deux nombres chacun desquels, comme aussi la somme de leur agrégat, ne » soit que de trois tétragones, à cause que vous me mandez que c'est celle qui a semblé u à M. de Fermât In plus dijficile. u
On doit remarquer que la (pu;stlon II de Sainte-Croix à Descartes a d'abord élé proposée par Fermât à Sainle-Croix qui la résolut (ci-après. Lettre XVIll, 3), que des quatre autres, la question V aVait été posée par Mersenne dans l'Épîtrc dédicatoire de ses Préludes lie l'Harmonie universelle en i634 (voir Lettre III, 2), avec l'indication du nombre 120. Fermai trouva le nombre 672 (Lettres XII, 4, et XIII, 4). Le troisième nombre 5';>3776, que ne donne pas la méthode de Fermât (IVu ), parait avoir été trouvé par Sainter.roix à une date postérieur!^ à l'impression de la Seconde Partie de l'Harmonie unii'erseUe de .Mersenne (i6>7 ).
La question III, qui se traduit par l'équation
jr2-f-2(.r2)2= (,r2-i-.r)2,
est très aisée à résoudre, et il est improbable que ce soit celle devant laquelle Fermât déclarait n'être |)as un CEdipe. Il n'en est pas tout à fait de même pour la question I, dont l'énonce, passablement obscur, semble devoir s'exprimer par les trois équations
avec les condilions (pie a-, j, ; soient entiers et /)- un entier du la luriiie ; •
(') l'eut-étre comme solution de la qucsliuii II, jiroposéc par Fermât a Sainle-t^roix. Voir noie |>réi'édenle.
proventuram auguramur, quidquid polliceatur acutissimi vir ingenii.
2. Duni igitur diffîcilioribus numeris tentationem honestamus, ut ipse loquitur, ita proponimus (' ) :
i" Invenire triangulum reclan gidum numéro, cujus area œquetur qua- Irato.
■2° Data summâ solidi sub tribus laleribus trianguli rectanguli numéro et ipsius hypotenusœ, invenire terminos intra quos area consislit.
Nec moveat additio solidi et longitudinis; in problcmatîs (Miiiii mimericis, quantitates omncs sunt homogenea-, ut omnes sciunf .
3° Invenire duo quadratoquadratos quorum summa œquetur quadraloquadrato, aut duos cubos quorum summa sit cubus.
4° Invenire très quadratos in proportione arithmetica, ea conditione ut diffère ntia progressionis sit numerus quadratus.
3. Quatuor problematis duo theorcmata (^) adjunginius, (jua", a nobis inventa, a Dom°. de Sainte-Croix demonstrationcm exspectant aut, si frustra speraverimus, a nobis ipsis nanciscentur. Sunt autem pulcherrima :
I" Omnis numerus œqualur uni. duobus aut tribus triangulis,
uni, 2, 3 aut 4 qiiadratis.
uni, 2, 3, 4 aut 5 penlagonis,
uni. 2, 3, 4, 5 aut 6 hexagonis.
uni, 1, 3, 4, -ï, 6 aut ~ heptagonis.
et eo continuo in infinitum progressu.
Videtur supponere Diophantus secundam partem theorematis, cauique Bachetus experientiâ conatus est contîrmare, sed dennonstratio-
I 1) Des quatre problèmes proposés ici par Fermât, trois sont insolubles, t'oir au Tome I les Observât ions sur Diopliante : pour (i) et (4 ), VOhs. XLV; pour (3), VOIis. II.
I - ) Pour le premier de ces deux théorèmes, voir Tome I, YObservation XVriI sur J)i<ipliante ; pour le second, comparer l'Olis. XXVII.
Fermât. — \l. y
tu; ŒLIVKES 1>K FEIUIAT. - (,()HHESPON 1) ANCE.
lUMii lion attiilil. Nos propositioïKMii ijcncralissiinaiu cl |nil(li(Miiiiiaiii priiiii, nisi iallor, dctexinuis et pro jiiro syiiallagmalis adiuilli, iicscio an jnrc. poslulamiis.
■2" Orltiphim cu/ttsli/>c/ tiitincri iiiutatc (Icrniniiliiiii coinpomliir c.r (juitlitnr (fitadratis lantam. non so/iini in integris, (.\\\w\ pokicrunl alii vi- (lisse, sed etiam in fraclis. (|U()il nos demonstraturos pollicenuir.
Ht (^x liac propositions mira sanc ([('dnciiMiis, quie, si in proniptu l'ucrint Doin". de Sainte-Croix, saltcin Hacheti iu!>cninm ot opcrani videntnr inniilitcr sollicitasse.
4. Priusqnam propositioncni de eiibis a te propositam construanius. ad quœsitum (') de numéro (572 respondeo nie unicum illum non eredere proposito satisfacientem, sed hic nnns post 120 in nostra metliodo occurrit.
In luijusniodi autem qusestionibus niliil impcdit quominus alius alià methodo alios numéros qusestioni satisfacientes nanciscatur : hoc si eontigerit Dom°. de Sainte-Croix, libentissime ab eo accipiemns una cum methodo qua iisus est. Sunt enim luijusmodi qusestionespulclier- Ywnx et dilliciliima; et a nemine, quod sciam, hactenus solutse; infinitas autem similes peculiari nobis methodo jam eonslruximus.
5. Quod ad qufestionem (-) de nunieris '\ et 1 1 spectat, tatemur difficillimam nobis visam et adhuc, post multa tentamenta, ignorari. Ht cri'diderim, donec contrarium appareat, ejus solutionem sorti polius quam arti deberi ; sed malimfalli me quam Dom. de Sainte-Croix. Hjus solutionem si dignetur impertiri, viam eoustructionis rogo adjungat.
