IV. - 11 OCTOBRE 1G

prouvez, nous communiquerons ensuite des conséquences qui en dépendent.

3. J'ai trouvé la démonstration (') de la somme des quarrés de deux côtés rationaux, commensurables en longueur, appliquée au double de la somme des côtés, excédant d'une figure (juarrée. Mais, puisque vous l'avez aussi trouvée, je ne vous dirai ici que mon principal fondement qui est que, de deux nombres quelconques, la somme de deux fois le quarré du premier, deux fois le quarré du second et deux fois le produit des deux nombres, n'est pas un nombre quarré, d'autant que, prenant les moindres nombres de leur raison,' un nombre simplement pris n'est pas quarré. Si nous avons tous deux un même moyen, ceci suffit; si vous en avez un autre, ce que vous reconnoîtrez par ce discours, vous me ferez faveur de me l'apprendre, et moi je vous écrirai le mien tout au long, si vous le désirez.

4. .l'ai aussi trouvé la démonstration (-) de votre conoïde et celle de votre parabole solide et, en conséquence, celles d'uiu^ infinité d'autres pareilles, quarréquarrées, quarrésolides etc.

5. .l'ai trouvé les tangentes de toutes ces figures : par exemple, eu la parabole solide, la portion de l'axe, prise entre la tangente et le sommet, est double de la portion du même axe, prise entre le sommet et la ligne appliquée de l'attouchement à l'axe.

6. .l'ai, par le même moyen, quarré la parabole géométriquement, autrement qu'Archimède.

7- Ht je me trompe fort si je n'ai rencontré le même moyen que vous, me servant des lignes parallèles à l'axe et des portions de ces lignes prises entre les paraboles et la ligne qui touche les mêmes paraboles par le sommet, lesquelles portions se suivent en la raison de l'ordre naturel des nombres quarrés ou des nombres cubes etc. Or, la somme des quarrés est toujours plus que le tiers du cube qui a pour

(1) /o(r Lettre XI, 7.

(2) Foir LeUres IX, 7; XIII, 3 et 6.

Fermât. — \\. il

côlt' lo coto ilu |)liis graiiil (iiiai'i'c', cl la môme sonimo dos ((iiariTS, le plus i^raïul ('laiil ùlé, osl moiitdn' i\uc le licrs du inêmo cube; la somme dos culios [lins (juc lo ([uai'l du (|uarro(iuarro et, le plus grand oul)o oté, moins que le (]uarl; ^'ic. Si par eo discours vous reconnoissez (|ue 00 u'osl pas voire iiioven. j'en serai d'autant plus réjoui pour ce (|ue nous en aurons deux, et vous me forez la faveur do m'onvoyer lo vôtre, faisant lo mènie do ma part.

8. Pour les tangentes do la conclioïde, je les ai considérées il y a longlonips, comme étant déterminations d'équations quarréquarréos. Sur ce sujet, il y a deux points en la conclioïde par lesquels on ne peut mener des tangentes : je vous prie de les considérer et vous trouverez une admirable propriété d'angles au sommet l'un de l'autre à la section d'une ligne droite et de la conchoïde (').

9. J'estime vos propositions {-) des nombres et celle du lieu plan fort difficiles; ce que je saurai mieux quand j'aurai eu le loisir de les considérer, comme aussi les centres de gravité des figures susdites tant planes que solides, n'étant pas résolu pourtant de m'obstiner après; car j'aimerai mieux tenir de vous ce que vous en aurez, si vous l'avez agréable.

10. Je vous prie pourtant de me mander si le centre de gravité do votre demi-conoïde n'est pas ce point oîi l'axe est divisé de sorte (|ue l'un des segments est à l'autre comme n à 4. pour ce qu'un léger raisonnement et non encore bien considéré m'a semblé me mener à cotte raison (').

H- Une autre fois je vous pourrai mander de nos propositions ainsi que vous le désirez. Pour cette heure, que je n'emploie à écrire ceci qu'un temps dérobé, je vous envolerai seulement celle-ci :

De deux cônes droits égaux et isopérimctres e'ianl données les bases inégales ou les hauteurs inégales, trouver les cônes.

( ' ) f''oir Lettre Xlll, 3. — Robcrval parle ici des poinis d'inflexion de la conclioïde. r2) Foir Lettres XIII, 4 et 7.

(') ynir ri-aprés Lettre W. 5.