XV. - 4 NOVEMBRE

Quand je dis isopérimètres, j'entends les bases y comprises ou exceptées, comme vous voudrez.

Vous en aurez la solution quand il vous plaira, si vous ne voulez prendre la peine de la trouver vous-même, et je vous l'aurois envoyée dès maintenant, n'éloit que je crois que vous désirerez avoir le plaisir d'y penser.

Attendant que vous me fassiez la faveur de m'écrire, je demeurerai etc.

FERMAT A ROBERVAL

MARDI k .NOVEMBRE 1636.

(la, p. 1/50-147:8^ a'".)

Monsieur,

1. Me réservant à vous écrire une autre fois les défauts (|(i(' j'ai trouvés dans votre démonstration (') et dans votre Livre imprimé (-), (|ue j'espère vous faire avouer par vos propres maximes, je me con- Iciilcrai de répondre présentement aux autres points de voire LcKi'e.

2. Et premièrement vous saurez que nous avons concouru au même médium sur le sujet de la somme des deux quarrés rationaux, commensurables en longueur, appliquée au double de la somme des côtés, excédant d'une figure quarrée (').

3. Vous vous êtes servi aussi d'un même médium (/) que moi en la quadrature des paraboles solides, quarréquarrées etc. à l'infini; mais vous supposez une chose [vraie] de laquelle vous n'avez possible

('1 Lettre XIV, 2. — Fermât annonce les objections contenues dans la Pièce XVL, ciaprès.

(2) Voir Lettre VII, 4, note i.

(3) FoiV Lettre XIV, 3.

(*) Fm> Lettre XIV, 7.

S'. ŒUVKKS ])E TEllMAT. - COHRESPONDANCE.

pas la démonstralioii pivcisc (lui esl ([iic la soniino des quarros est plus graiult" (lue li' tiers du cube qui a pour coté lo côté du plus grand quarré; la soiuiiic dos cubos plus (|uc le (|uai'( du quarréquarré; la somme des (|iiarré(Hiarrés pins (|u'uii ciii(|iiième du quarrécube; etc.

Or, pour démontrer cela plus généralement, il faut, étant donné nn nombre in progressione naliiralù trouver la somme, non seulement de Ions les qnarrés et cubes, ce que les auteurs qui ont écrit ont déjà l'ait 1^'), mais encore la somme des quarréquarrés, quarrécubes etc.. ce que personne que je sache n'a encore trouvé; et pourtant cette connoissanee est btdie et de grand usage et n'est pas des plus aisées.

.l'en suis venu à bout avec beaucoup de peine. En voici un exemple :

Si quadruphan ma.rimi iiunieri binario aticliim ducas in qnadraliun Irinnguli numerorurn, et a producto dernas summum quadratorum a si/igulis, fiel summa quadraloqiiadratoriim quintupla.

Il semble que Bachel, dans son Traité De numeris multangu/is (-), n'a pas voulu tàfer ces questions après avoir fait celle des quarrés et des cubes; je serai bien aise que vous vous exerciez pour trouver la méthode générale, pour voir si nous rencontrerons. Eu tout cas, je vous otfre tout ci' que j'y ai fait, ({iii est tout ce qu'on peut dire sur cette matière.

Voici cependant une très belle proposition, qui peut-être vous y servira; au moins c'est par son moyen que j'en suis venu à bout. C'est une ri'gle que j'ai trouvée pour donner la somme, non seulement des triangles, ce qui a été fait par Bachet et les autres (^), mais encore des pyramides, triangulotriangulorum etc. à l'infini. Voici la proposition (■') :

UUimum lalus in lalus proxinie majus facit dupluni trianguli.

(1) yoir Lclire Xll, 10 et 11.

(î) foir Lettre Xll. 7, iiule i.

(^) Bachel (Appendix ad lil/rum de numerit poljgonis, I, prop. 18) donne la sonimalion, non seulement des triangles, mais en général des polygones de même genre ayant pour côtés les nombres consécutifs à partir de l'unité.

(') ro(> Lettre Xll, 12.