XVII. - 7 DECEMBRE
Et n'importe d'alléguer qu'il semble que le mouvement qui se l'ait par des puissances parallèles à la ligne DA est aussi bien contraire au mouvement qui se fait sursum par la puissance qui retient en D : car,
i" Il n'est pas si probable de dire qu'un mouvement violent est contraire à un autre mouvement violent, comme de dire qu'un mouvement violent est contraire au mouvement naturel.
2° Le mouvement qui se fait sur les lignes parallèles à DA se fera sur des plans inclinés à l'horizon et desquels la proportion sera plus inconnue que le principe; de sorte que ou il vous faut avouer la vérité de mon principe ou démontrer le vôtre. Au premier cas, je vous démontrerai ma proposition de mon second leviej, par vos propres maximes; j'estime que vous aurez grande difficulté au second.
Vous pouvez encore répondre qu'il n'est pas ici question des mouvemens qui se font sur des plans inclinés à l'horizon, parce que vous supposez, et je l'accorde aussi, qu'en tout mouvement, si la force qui retient tire à l'opposite, l'équilibre se fera lorsqu'elle sera égale à la force qui tire au contraire, et qu'ainsi, la puissance en D tirant à l'opposite, l'efTet de votre principe s'en ensuivra.
Mais je réponds que votre réponse seroit bonne, si la puissance qui est en D étoit divisée et placée aux points B et C, et qu'elle tirât au contraire par les mêmes lignes que les forces, que vous supposez en C et B, meuvent. Mais cela n'étant pas, excusez mon incrédulité si elle ne se rend pas à vos raisons, lesquelles je souhaiterois plus fortes pour pouvoir librement me dédire de tout ce que j'ai fait sur ce sujet, vous protestant que jamais homme n'a été plus docile que moi et que, lorsque je reconnoîfrai mes fautes, je les publierai le premier avec toute franchise.
2. .l'ai été bien aise de voir votre remarque sur la conchoïde ('), et vous prie de m'en donner la démonstration et vous souvenir que, lorsque je vous écrivis sur ce sujet, je le fis en doutant et sans examiner l'écrit que je transcrivis d'un livre où je l'avois mis il y avoit
C) Foir Lettre XIV, 8.
quatre ans. La construction i)ourtaiit convient au |)roi)lèine et au point niènie de votre proposition, si elle est vraie, ce que j'attends (|ue vous nie contirmiez.
,1e vous prie aussi nu' l'aire savoir voire sentiment sur les autres propositions (|iie je vous ai envoyées et votre réponse sur les autres points (le ma (lernière Lettre (') et me croire toujours etc.
FERMAT A ROBERVAL
MARDI l6 DÉCEMBRE l636.
Monsieur,
1. Je viens de recevoir votre Lettre du 29 novembre (^), pour réponse il laquelle je vous dirai que, de la méthode que vous avez trouvée pour donner la somme des quarrécubes et quarréquarrés, je ne vois point (|u'on en puisse tirer une règle générale pour l'invention de la somme omnium poleslalum in infinilntn, ce qui est requis à la solution de mon problème ('). Car vous dites seulement qu'il sera aisé de trouver les autres, après avoir vu celles dont vous baillez les exemples; mais je demande une méthode générale qui serve ad omnes potestales, comme Viète a trouvé celles des sections angulaires (*). Vous y songerez, s'il vous plaît, et j'en écrirai cependant l'invention et démonstration que vous verrez lorsqu'il vous plaira.
(•) Letue XV.
(') Celle Letlre, lie Uoberval à Fermai, est perdue. (») roir Lettre XV, 3.
(') Francisci Vietaî ad angulares sectiones tlieorcinata /.aOoXLzajTzpa denionstrala per Alcxandrum .4ndersonum. — Pages 287 à 3o4 de l'édition des Elzevirs.
XVIll. - 16 DECEMBRE 1636. 93
2. Pour ce qui est des nombres et de leurs parties aliquotes ( ' ), j'ai trouvé une méthode générale pour soudre toutes les questions par algèbre, de quoi j'ai fait dessein d'écrire un petit Traité. Je crois que vous aurez maintenant vu la construction des deux que j'ai envoyés au Père Mersenne; car il m'écrit qu'il vous les baillera. Toutes ces questions sont très difficiles, comme vous savez, et n'ont été traitées par personne.
3. J'ai été bien aise d'être confirmé par votre lettre en l'opinion que j'avois déjà conçue de M. de < Sainte-Croix >. Il est pourtant vrai qu'il doit avoir grande expérience dans les nombres, car, lui ayant par l'entremise du Père Mersenne proposé une question que personne de ceux à qui je l'avois proposée n'avoit encore pu soudre, il m'a envoyé d'abord les nombres qui satisfont à la question, sans pourtant expliquer sa construction. La question est (^) :
Invenire tria triangula rectangula numéro, quorum areœ constituant tria latera trianguli rectanguli numéro, singulœ nempe areœ singulis lateribus sint œquales.
Je vous avouerai que ce problème me donne beaucoup plus de [)einc qu'à M. de <^ Sainte-Croix ;>. Il est vrai que les nombres que j'ai trouvés sont différents des siens et que peut-être ai-je tenu un chemin plus difficile, comme vous savez que ces questions ont infinies solutions. Peut-être serez-vous de mon avis, si vous essayez de satisfaire à la proposition.
4. Vous verrez aussi mes spirales C), desquelles la démonstration vous sera connue tout aussitôt (car elle est pareille à celle des nouvelles figures {'') que j'ai quarrées ou auxquelles j'ai trouvé des cônes
( ' ) Foir Lettre XV, 4. — Les deux nombres envoyés au Père Mersenne sont les amiables 17296 et 18416 {voir IVa et IVu).
(2) Foir Observation XXLX. sur Dioplianto ("Tome I, p. 3a i). (?) Foir Lettre XV, 6.
('•) Foir Lettre XIV, 4.
!)i ΠV V R E S I) i: r F. Il M AT. - C 0 R R E S P 0 N I) A N C E.
égaux), vl vous uravouercz que ci's propositions u'illuslrent pas pou la Géomélrio.
Si .M. (le Bcaugraïul n'a pas (Micorc Irouvé la démonstration de ces questions, vous m'obligerez de lui en l'aire pari.
5. .le lui ai éeril l'invention du centre de gravité de toutes ces nouvelles ligures ( ') par une méthode particulière, qui ne suppose point la eonnoissance de la (juadralure, ce qui vous semblera merveilleux jusques à ce que vous l'aurez vu. Il est vrai que je lui ai envoyé l'analyse seulement el non pas la composition que je vous éclaircirai une autre Ibis, parce qu'elle a ses dilTicullés et ne paroit pas d'abord par cette voie.
,1'ai trouvé le centre de gravité de la parabole sans présupposer la quadrature, comme a fait Archimède, et ainsi on en peut tirer la quadrature par un simple corollaire.
6. Toutes ces proposilions, ensemble celles des lieux plans, solides et ad superficiem, que j'ai achevées, et celles encore des parties aliquotes des nombres, dépendent de la méthode (-) dont M. Despagnet lie vous a |)u l'aire voir qu'un seul cas, parce que, depuis que je n'ai en l'honneur de le voir, je l'ai beaucoup étendue et changée.
7- Les tangentes des lignes courbes dépendent aussi de lii, sur lequel sujet je vous proposerai de trouver une tangente h un point donné en la seconde concho'ide de Nicomède (^).
8. An reste, je suis bien aise de ce que vous ayez trouvé la démon-
(') roi>LeUro XV, 5.
(S) ro(> Lcltre XIII, 3.
(3) Voir Lettre XVil, 2. — La seconde coiioliuïdo do Nicomode (Pnppus, éd. IIuUscli.
[1. 2i4i 1- '9^ parait correspondre à l'équatioa en courdonnées polaires : p = — — — /^, en
supposant /; < n. (Lp Iroisiéinc et la quatrième répondraient respectivement aux cas: i) = (i; b > a). jMais Fermât entend i>rolialdemenl ici la conclioïdc du cercle. (Comparez Viète, Supidcincnlum Ceomcliiœ, édition des Llzesirs, page 240.)
