XXXVIII. — MARS iG

Par cxL'iiiple, que les nombres représentés par o, n, in\ m, I, /.■; X-, /, h\ h, I, s\ s, r, q\ y. p, n, comme aussi par a, h, o; a, c, ?>2; a, d, k\ a, e, h; a, g, s et a, /, </, eussent chacun leur somme égale; et en nuire, qu'ôtant quelques enceintes de ladite figure, sous les conditions déduites au quarré, la même égalité demeurât encore.

Vous remarquerez, s'il vous plait, que la quantité de lettres qui sont ici ne sert que d'exemple, et ne s'ensuit pas d'iccllc qu'on puisse faire ces choses sous la quantité qu'elles représentent, car elles ne servent que pour les donner mieux h entendre.

7. Pour ce qui est des nombres dont il veut renouer la conférence, on attend encore la solution de ceux qu'on lui a envoyés autrefois, et de celui que vous avez encore envoyé depuis peu ('), duquel il doit d'autant plus facilement venir à bout, qu'il a trouvé la démonstration de tout ce qui concerne les parties aliquotes.

8. Et s'il trouve que ce soit peu de chose pour lui, (|u"il vous envoie un nomhva parfait qui ait 20 lettres ou le prochainement suivant, atiii de ne point sortir de ce qu'il sait avec perfection, et j'estime qu'il en viendra d'autant plus facilement à bont, qu'il pourra sur tout ce que dessus consulter l'oracle de ce grand démon dont vous nous avez tant fait de fête, lequel nous tiendrons pour bon ange et des plus blancs, s'il y satisfait. Encore que, s'ils éfoient versés en ces matières-là comme le sont vos Sainte-Croix et Frenicle, cela leur serviroit plutôt d'ébattement que de travail, vu qu'il y a longtemps qu'ils ont trouvé et considéré ces choses-lîi.

Voilà, mon Pi're, si j'ai bonne mémoire, un raccourci de tout l'entretien que nous eûmes ensemble avant-hier. Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et afTectionné serviteur,

Frexicle.

C) Comparer los LcUrcs XXXVI, 1 et XXXVII, 1. l^'i'ciiicle fait allusion à une correspondance perdue, qui paraît avoir surtout concerné les nombres en relation donnée avec la somme de leurs i)arties aliquotes.

Fermât. — 11.

i86 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

WWIIT bis.

FERMAT A 3IERSENNE.

DIMANCHE 1 AVIIII. IG'tO.

( f'ii, p. 173-17G.)

Mon RiivÉREND Père,

1. .le vous dois deux réponses pour les deux dernières Lettres que j'ai reçues de votre part et que j'ai trouvées toutes deux en même temps à mon retour de la campagne; le sujet de la première concerne Monsieur Desargues et celui de la seconde Monsieur de Frenicle.

2. Je suspends la réponse aux questions de Monsieur Desargues, jusques à ce que j'aurai vu par votre faveur le troisième Livre des Coniques de Monsieur Mydorge et les autres ('), s'il y en a d'imprimés depuis les deux premiers qui sont les seuls que j'ai en mon pouvoir. Je vous promets alors de m'étendrc sur tout ce qu'il semble que vous desirez de moi, et cependant je suis obligé de vous dire que j'estime beaucoup Monsieur Desargues et d'autant plus qu'il est lui seul inventeur de ses Coniques; son livret, qui passe, dites-vous, pour jargon, m'a paru (rès intelligible et très ingénieux (^).

(') Les deux premiers Livres des Coniques de Mydorge avaient élo puijlios en lU'ii sous le titre :

Claudii Mydorgii palricii Parisini Prodromi Catojjlricorum et Dioptricorum sive Conicorum operis ad abdita radii rcflexi et refracti mysteria prœvii et facem praeferonlis Libri primus et seciindus. D. A. L. G. — Parisiis, Ex typographia L Dcdin, via Nucum, sub signo trium Coiuniliarum, M.DC.XXXL Cum privilégie Régis (in-f'oHo;.

Les deux suivants furent ajoutes dans la réédition do ifi^g ;

Claudii .Mydorgii.... Libri quatuor priores. D. A. L. G. — Parisiis, E\ typographia l. Dedin, via Nucum, sub insigni parvi Scuti, M. DC. XXXIX. Cum privilegio Kogis.

(-) Il s'agit du Brouillon project d'une atteinte aux euenemena des rencontres d'un cône (wec un plan, par le S. G. D. L., dont l'édition originale, imprimée à Paris en 1O39, est introuvable (Œuvres de Desargnes, éd. Poudra, I, pages y; à ■l'io). — La corres[)Ondance de Fermât ne contient aucune autre indication sur les questions que lui avait posées Desargues.

XXXVIIl bis. — 1" AVRIL 1G40. 187

3. Pour 3Ionsieur de Frenielc, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui. sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la eonnoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions, il me semble (jue je vois devant moi

Magiuira maris îEquor anindum { ' ),

à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité que, si je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouverois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.

4. Pour la méthode que j'oppose à la syncrise ('), ce n'est seulement que pour éviter les divisions qui sont souvent très fâcheuses en cette sorte de questions.

Soit, par exemple :

bda — 6(7^ — a^ a?f|. c'"'-.

Cette équation peut avoir trois solutions, desquelles soit par exemple Il l'une qui soit donnée. Il faut trouver les autres deux.

(') Virgile, Enéide, II, 780 : [,onga tibi exsilia cl vasliim maris aîquor araadiim. *

(2) Le fragment qui suit est inédit; il est reproduit d'après l'extrait de la Lettre du i" avril 1640, que contient le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagni. U est très improbable que les notations algébriques, dans lesquelles dominent les habitudes cartésiennes, soient réellement celles de Fermât.

(3) Foir Tome L page 147, note 3. — Comparer Lettre XXXVII, 4.

188 Œ l y II K S n K F F. Il M VW - C () U II E S P 0 N I) A N C E.

Pmir V parvenir, il os( lUH'cssaii'o de I)aissor colle ('qualion (riiii (logro, 00 (|iio A'iolo i'ail j)ar division o( M. Dosearlos aussi; voioi ooniiuo jo procodo :

// osl ogal il <i; or il y a deux lii^nos égalos ii a, iiiogalos ii //. Posons (|ui' l'uiio do oos doux iii(nos soil // + e, ot faisons inainlonani ro(|ualion ooninio si // + c oloil a, nous aurons

bchi ■+- hde — bc- — e^ — bn" — ihne — Zne- — li^ — 3/t-e a?(|. ;'°'-.

Or, puisquo a est ôgal à //, donc

bda — ba"- — a^ sera égal l\ bcln — bn- — n^.

Mais

bda — ba- — a^ est égal à z""^-,

[lar la pi'oniiôro oquation; donc

bdn — bn-— n^ est égal à z^°^-.

Olez donc d'un côlé de la seconde équation hdn — hn- — «', et de l'autre (-(Mé ;*"', il restera

b<lc — bc- — e' — nbne — ci ne- — 'in-e œq. o.

l-]t, le tout divisé par e, qui est une division simple et non composée comme colle de Yiète et des autres, restera

bd — bc — e- — ■ ibn — Zne — 3/i'- a^j. o

et ainsi l'équation ne sera que quarréc et, lorsque e sera connu, en y ajoutant «, vous aurez la ligne olierchée.

O n'est pas que j'estime beaucoup ceci, ni que j'aie tout dit en vous donnant ce seul exemple, mais c'est seulement pour la facilité do l'opération.

' 5. Je viens aux propositions des quarrés (') : sur quoi je vous puis protester que je n'ai jamais vu ni Stiphelius ni celle Clavicule et ne sais

C) loir LoUre XXX VIII, 1 à 3. — Ici icprcud lo tcxlu doiiiiô par les luria. Le carré magique est inédit.

XXXVIII ùà. — i<-' AVRIL ICVO.

ce que ces livres coiUieiinent et, pour faire voir que j'ai vu peul-èlre plus loin qu'eux et satisfaire à la semonce de M. Frenicle, je vous envoie le quarré de i4 aux conditions requises, duquel, si vous ùtez deux enceintes, le restant sera aussi quarré aux conditions requises et, si vous ôtcz encore deux enceintes de ce restant, ce qui restera sera encore quarré aux mêmes conditions.

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