GG
Le premier quarré fait en ces lignes iS-q; le deuxième fait 985-, le troisième fait .J91.
6. Or, ne doutez point que je ne possède la méthode générale pour faire toute sorte de quarrés en cette sorte et aux conditions qu'ùtant (cl nombre d'enceintes qu'on voudra, le restant soit encore quarré, etc.
.Mais, il n'otor (ju'iinc seule enceiiile, je erois la qiieslioii impossible : à (|uoi peiif-ètre .M. Treniele ne prit pas garde (' ), lorsqu'il me proposa d'ôler trois eneeiiiles de 22, et puis deux du restaul, et |)uis uue du reslaut. Car, aux deux premiers eas, la questiou est faisable eu beaucoup de iiiauières, uuiis au troisième je ue l'estime poiut possible : de quoi la raisou dépend de ma règle, laquelle je n'ai pourtant ni trouvée ni chorcbée que lorsque j'ai reçu la Lettre de M. Freuiele, et c'est pour cela que je ne détermine pas absolument l'impossibilité de ce cas, jusqu'à ce que j'aurai eu encore quelques jours pour y sons;er de nouveau.
7. Mais ce que je trouve de plus beau en ma règle, et que je ne crois pas avoir été touché ni par Sliphelius ni par aucun autre, est que je puis déterminer en combien de façons, et non plus, chaque quarré peut être disposé aux conditions requises, comme par exemple, s'il m'est permis de demander à M. Frenicle, en combien de sortes différentes 22 peut être rangé.
8. Je passe bien plus outre, et passant aux solides qui le sont effectivement, j'ai trouvé une règle générale pour ranger tous les cubes à l'infini, en telle façon que toutes les lignes de leurs quarrés, tant diagonales, de largeur, de longueur que de hauteur, fassent un même nombre, et déterminer outre cela en combien de façons difl'érentes chaque cube doit être rangé, ce qui, me semble, est une des plus belles choses de l'Arithmétique.
Vous en trouverez un exemple (-) sur le cube 64, à côté du quarré .le 14.
Il faut ranger les quatre quarrés qui font la solidité du cube, en telle façon que le premier soit dessous; le deuxième soit mis sur le premier, en telle façon que 53 soit sur 4 et 50 sur i.; il faut ensuite mettre le troisième sur le deuxième, en telle façon que Go soit sur 53 et 37
(') Foir Lellre XXXVIII, 3. — Comparer Lettre XL, 3.
C) Les carrés ci-;i()rcs se trouvaient, ainsi que le carré magique reproduit plus luiul (5), transcrits sur une leuille détachée; ils ne sont pas non plus donnés dans les J'aria.
XXXVIII bis.
i" AVRIL IGVO.
sur 5G; et enfin il faut mettre le quatrième sur le troisième, en sorte que i3 soit sur Go et iG sur 57. Cela étant fait, vous aurez un cube qui sera divisé en douze qnarrés, lesquels se trouveront tous disposés aux conditions requises; il y aura en tout 72 lignes différentes, chacune desquelles fera une même somme, savoir i3o.
(il
Go
(ii
9. Vous voyez combien ceci est au-dessus du tétraèdre et de l'hexagone (') de M. Frenicle, desquels le premier n'est pas solide en effet, mais par fiction seulement, quoique je ne doute pas qu'il ne puisse être haussé en solide; mais, dans ces deux propositions, il y a beaucoup de nombres superflus dans les entre-deux des lignes qui aboutissent ou au sommet ou au centre, ce qui fait qu'elles ne sont pas si parfaites que la mienne, en laquelle je puis encore ôter les enceintes requises et faire que le restant demeure aussi cube, etc.
Je soumets pourtant le tout à mondit S'' de Frenicle et crois que, si j'avois l'honneur d'être connu de lui, il auroit omis quelques paroles qui sont dans sa Lettre. Je ne resterai pas de lui assurer l'estime que je fais de lui et de le conjurer de me faire part de sa méthode.
10. Pour le solide de la roulette, je le réduirois bien à des solides plus simples, mais à des sphères, cônes ou cylindres qui soient créés par des lignes droites données, il me semble qu'il est impossible.
Excusez si le papier me manque, etc.
H. P. -S. Depuis ma Lettre écrite (-), un de mes vieux papiers m'est
(') Voir Lellre XXXVIII, 5 et 6.
(^) Ce posl-scriptiim [jarail appartenir à une Lettre aiUorieuro et avoir été l'occasion (le la Lettre XXXVIII de Krenicle.
toiiihi' cil main. IimiucI coiitieiil iiiic olisorvalioii sur le [)i"ol)li'mo XXI (lu Livre do Harlu'I. innirimc à Lyon en i()2'|, o( (jiii [joric pour lilrc : Problèmes plaisons et délectables (/la' se font par les nombres.
Voici rciidroil (^'); il propose do ranger en (|iiarré les noniI)res conséeulii's en progression arithmétique, on sorte (jne tous les rangs, tant de haut, A(' has (|ue des côtés et par U's diami-tros, fassent une môme somme, de quoi il haille une règle générale pour les quarrcs impairs, et avoue n'en avoir pu trouver aucune pour les pairs, mais avoir fait seulement plusieurs observations particulières, par le moyen desquelles il a rangé les pairs jusques à 141.
Or, pour la règle des (|uarrés impairs, je dis premièrement qu'elle n'est pas de son invention, car (die est dans l'Arithmétique do (lardan (-); mais d'ailleurs elle ne résout la (]ueslion que d'une seule façon, qui le peut ètroen plusieurs. Je dis donc :
1° Que ma méthode range les quarrés pairs et impairs à l'infini ;
2° Qu'elle les range en toutes les façons possibles, lesquelles augmentent comme les combinaisons, à mesure que les quarrés sont plus grands;
3° Que la règle des pairoment impairs n'est pas dilférento do celle des pairoment pairs, mais bien la mémo, quoique Bachet ait cru qu'elles dévoient être différentes.
Voici un exemple de ma méthode :
Il range le 2j d'une seule façon, n'y sachant autre chose, et voici comme il le range :
2 3 fi j g 1 1 5
(') Pages Go et suivantes de rédition originale.
(2) Practica ar'ithinetica et nwii.mroiidi xiiigidnrls (Milan, iSSg), réimprimée dans le quatrième lonie de l'édition des Giiivrcs de Cardan en lo volumes (Lyon, iG63). — Cardan y donne, sans règle de consiruciion, sept eurrcs magiques (de 3^ à 9^) qu'il attribue aux se|)t planètes et appelle /)/«//(;ii7/;-e.f. Il parait les avoir empruntés à Agrippa de Nettesheym (De occulta pldlosnphia. Cologne, i533).
XXVIII Us. - 1" AVRIL 1C40. 193
En voici trois autres que j'ai choisis parmi plusieurs que ma méthode enseigne :
■iO
lO
ij
iG
iG
Il range le 3G à tâtons d'une seule façon, comme s'ensuit :
7 II 27 28 8 3o
19 1 i iG i5 23 >4 18 20 22 21 17 i3 2 3 29 10 g 2G 12 3fi 5 33 4 2 3i
En voici une aulro parmi plusieurs que ma méthode fournit; si le temps ne me manquoit, je vous en envoierois demi-douzaine :
20 24 i5 iG 19 17 35 G 34 3 i 32
Mais, parce qu'on pourroit croire que la règle n'a qu'un seul exemple, lorsque les diamétraux demeurent les mêmes, voici qui fait voir le contraire : c'est un exemple de ma méthode du 04, différent de celui de Bachet, et qui garde néanmoins les diamétraux :
I 7 G Go Gi 59 58 8
iG 10 5i 32 33 54 i5 9
41 23 43 21 20 4^ 42 24 3G 5o II i3 12 14 55 49 57 63 62 5 4 3 2 64
Fermât. — M. 'iO
19i (i: l V 11 K s 1) K F K n M Al". — (". O U U K S l' ON DAN CE.
E» voilà assez pour donner de l'exercice à M. Krcnicle, car je ne sais guère rien de plus beau en l'Arillunétique que ces nombres que quelques uns appellent planclarios, et les autres wa^/co*; et do fait j'ai vu plusieurs talismans, oii quelques uns de ces (juarrés rangés de la sorte sont décrits, et parmi plusieurs un grand, d'argent, qui conlient le '19 rangé selon la méthode de Bachot, ce qui t'ait croire (]ue personne n'a encore connu la générale ni le nombre des solutions qui peuvent arriver ;i chaque quarré.
Si la chose est sue à Paris, vous m'en éclaircircz; en tout cas, je ne la dois qu'à moi seul.
Je suis etc.
FERMAT A MERSENNE (')
< MAI? levo >
1- Je trouve plusieurs abrégés pour trouver les nombres parfaits (■) et je dis par avance qu'il n'y en a aucun de 20 ni do 21 caractères, ce qui détruit l'opinion de ceux qui avoient cru qu'il y en avoit un dans l'enceinte de chaque dixaine; comme un depuis i jusques à 10, un autre depuis 10 jusques à 100, un autre depuis 100 jusques à 1000, etc. (le qui n'est pas vrai, comme il paraît par cet exemple; car depuis 10 000 000 000 000 000 000 jusques à la dixaine suivante, il n'y en a pas un. ni d(qniis la suivante à la prochaine non plus.
2. Je passe à ma proposition (^) de ranger les quarrés. Vous pouvez vous assurer que j'en possède absolument la méthode, aussi bien que
(') Ce fragment inôdit, de dalc inccrUiino, semble avoir fait partie d'une Lettre envoyée à Mersenne par Fermât avant qu'il en eût reçu la réponse de Frenicle à la précédente. (S) Foir Lettre XXX VIII, 8. — Comparer ci-après Lettre XL. 6. (3) Comparer Lettres XXXVIII bis, 7, et XL, 2.
