XLI. - 4 AOUT 16i

épluché CCS malières, et je serai bien aise d'apprendre le senliment de M. de Roberval.

7. Au reste, vous ou moi avons équivoque de quelques caracti'res au nombre que j'avois cru parfait ('), ce que vous connoîtrez aisément puisque je vous baillois 1 37 Y38 953471 pour son radical, lequel j'ai pourtant depuis trouvé, par l'abrégé tiré de ma troisième proposition, être divisible par 223; ce que j'ai connu à la seconde division que j'ai faite, car, l'exposant dudit radical étant 3;, duquel le double est 74. j'ai commencé mes divisions par 149. plus grand de l'unité que le double de 74; puis, continuant par 223, plus grand de l'unité que le triple de 74, j'ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.

De ces abrégés j'en vois déjà naitre un grand nombre d'autres et jni par di veder un gran liane.

Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M. Frenicle me vient au secours et m'abrège par ce moyen ma recherche des abrégés. En tout cas, je vous conjure de faire en sorte que M. de Roberval joigne son travail au mien, puisque je me trouve pressé de beaucoup d'occupations qui ne me laissent que fort peu de temps à vaquer à ces choses.

Je suis etc.

ROBERVAL A FER:\IAT.

SAMEDI 4 AOUT 16iO.

( /"rt, p. i65-iG6.)

Monsieur,

1. Encore que depuis près de trois ans je n'aie eu l'honneur d'avoir commerce avec vous, je n'ai pourtant pas été privé entièrement

(') Probablement dans la partie perdue de la Lettre XXXIX.

du plaisir ([iio jo reçois de vos spéculations mathémati(juos, car le Père .Mersenne m'a t'ait la faveur de me communiquer la plupart des lettres (|u'il a reçues de vous depuis ce temps là, dans lesquelles j'ai reconnu une augmentation continuelle e( très sensible en la heaulé et solidité de vos pensées, auxquelles il n'y a rien que d'admirable, soit sur le sujet de la Géoniéirie ou de l'Arithmétique.

2. Sur tout je suis ravi de votre invention de minimis et maximis et du moyen (^ ' ") par lequel vous l'appliquez à la recherche des tou- (dianles des lignes courbes, et ne crois pas que jusques ici il se soit vu rien sur ce sujet qui ne cédât de beaucoup à ce que vous nous en avez donné. Car l'invention de M. Descartes, à laquelle j'assigne le premier lieu après la vôtre, n'en approche que de bien loin, parce que, quoiqu'elle puisse être rendue universelle, ce qu'il n'a pas fait et le pourra maintenant à l'imitation de votre dernière addition, toutefois elle est sans comparaison plus longue, plus embarrassée et plus difficile.

3. Je vous dirai que j'ai d'autant plus admiré votre invention qu'à peine croyois-je que, pour trouver les touchantes des lignes courbes tjui n'ont rapport qu'à d'autres courbes ou partie à des droites et partie à des courbes, on pût s'en servir, ce que M. Descartes avoue de la sienne sur le sujet de la roulette et autres lignes pareilles, lesquelles pour cette considération il rejette de la Géométrie (-) : sans raison, puisqu'à l'imitation de votre dernière addition, sa méthode peut être rendue universelle comme la vôtre, mais avec une difticulté, laquelle bien souvent ne se pourroit presque surmonter par un esprit humain.

4. Cette opinion fut cause que, quand je vis que vous aviez trouvé les touchantes de la roulette (') et que vous assuriez avoir la règle universelle pour toutes les lignes courbes, je crus qu'elle ne pouvoit être autre que celle que j'avois inventée au temps même que j'inventai cette roulette, laquelle règle ou méthode je n'avois encore commu-

(•) Voir le Traité Doctriiiam la/igeiitiiim. Tome I, pages i58 à 167. (-) Géométrie de Descartes, éd. llcrmann, l'aris, 1886, page iG. (») Voir Lettre XXXIV, 2.

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niqnée à personne, ni'étant contenté d'en avoir démontré les eli'ets à .Al. Pascal en la tangente de la quadralrice qui se trouvoit des plus dit'ticiles, y joignant la démonstration géométrique, comme a fait Archimède en celle de la spirale, laquelle par ma méthode s'expédie en deux mots.

5. .Favois fait la même chose en la cissou/e et avois démontré, de plus, que ces deux lignes courhes sont infinies de leur nature et oui (les asymptotes parallèles entre elles ('), ce qu'on m'a assuré avoir été déjà démontré par un auteur dont on ne m'a pu dire le nom.

6. .l'ai aussi démontré le.s tangentes des lignes courhes (|ui se décrivent avec un compas sur la superficie d'un cylindre, |)uis se réduisent en plan, et en général celles de toutes les courhes ([ui oui pu venir à ma connoissance; et cette méthode est tellement différente de la votre (contre ma première opinion) qu'elles ne se ressemhicnl en lien qu'en la conclusion.

T- Depuis, M. Mydorge faisant quelques difficultés sur la vùlre, je lui en donnai la solution, et en même temps je lui ouvris les principes de la mienne et lui en fis voir un essai en la cissoide. Si je sais (|uc vous l'ayez agréahle, je vous en écrirai. Elle n'est pas inventée avec une si suhtile et si profonde géométrie que la votre ou celle de 31. Descartes et, partant, elle paroît avec m'oins d'artitice; en récompense, elle me semhle plus simple, plus naturelle et plus courte, de sorte (|ue, pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il ne m'a pas même été hesoin de mettre la main ii la plume.

8. Depuis cette invention, je me suis appliqué aux lieux solides (t</ ires et ad qualuor lineas, lesquels j'ai entièrement restitués, quoique, pour n'y rien oublier, il ne faille guère moins de discours qu'aux six

(') Roberval semble avoir considéré la cissoide Qomma comprenant la courbe symétrique que l'on obtient en cliangeanl le signe de x dans l'équation )2(a — x) = (ft-f-.r)'. Il est probable que les anciens entendaient également dans le môme sens leur définition de cette courbe, mais, pas plus que pour la quadratrice. ils n'avaient considéré les branches en dehors du cercle .r^-h r-= «2.

Fermât. ■ — I[. 26

•20-2 (KrVHKS 1)K !• K I! M VT. - CO I! IIKS l'ONDA N CK.

[ircmiiM's Livres tlos Klcinoiils. C/csl de qni»i je vous ciilrcliiMKli'ai une autre t'ois, parte (|ii'il va quelque chose qui me semble le mériter.

9. ensuite j'ai considéré la percussion, le mouvement et les autres ellets que cause quelque impression, soit violente ou naturelle, en quoi je ne crois pas avoir mal employé le temps, puisqu'en une matière si épineuse, encore ni-je découvert quel(|uc cliose de grande utilité, à ce (|uc je pense, et laquelle je [)ourrai [leul-élre augmenter avec le temps.

10- J'oubliois presqiu' à vous dire que les nombres, dont vous avez déjà découvert des propriétés admirables, contiennent de grands mystères; mais, pour les mieux découvrir, il i'audroit être plusieurs ensemble, d'accord et sans jalousie, et desquels le génie fût naturellement porté à cette spéculation, ce qui est très dllficile à rencontrer. Si ce sujet vous plail, ou quel(|u'un de ceux dont j'ai [)arlé ci-dessus, je prendrai aussi plaisir à le considérer plus |)articulii'remenl, espérant que vous me l'erez part de vos inventions, de quoi je vous supplie en ([iialité de etc.

FERMAT A R015ERYAL.

< AOUT lOVO > ( >^a, p. iGi-iCi.)

3lo.Nsu;i:u,

1- Après vous avoir remercié de vos civilités (') et protesté que je serai ravi d'avoir des occasions à vous plaire, je vous supplierai de me faire part de votre invention sur le sujet des tangentes des ligiu^s courbes et encore de vos spéculations méclianiques sur la percussion,

(') Réponse ;i la Lollip |)réc,é(ioMli'. XI,I.