XLII. - AOUT IGiO

[)uis(jue vous me faites espérer la commmiiratioii de vos pensées en retle matière.

2. Après cela, je vous dirai que M. Frenicle m'a donné depuis (|uelque temps l'envie de découvrir les mystères des nombres, en quoi il me semble qu'il est extrêmement versé. Je lui ai envoyé (') les belles pro|)Ositions sur les progressions géométriques qui commencent à l'unité, lesquelles j'ai non seulement trouvées, mais encore démontrées, bien que la démonstration en soit assez cachée, ce que je vous prie d'essayer, puisque vous les avez vues.

3. Mais voici ce (|ue j'ai découvert (-) depuis sur le sujet de la proposition 12 du cinquième Livre de Diophantc, en quoi j'ai suppléé ce que Bacliet avoue n'avoir pas su, et rétabli en même temps la corruption du texte de Diophantc, ce qui seroit trop long à vous déduire. Il suffit que je vous donne ma proposition et que je vous fasse plutôt souvenir que j'ai autrefois démontré (^) quun nombre moindre de l'unité (jn' un multiple du quaternaire n'est niquarré, ni composé de deux q narrés . ni en entiers ni en fractions. J'en demeurai pour lors lii, bien qu'il y ail beaucoup de nombres plus grands de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui pourtant ne sont ni quarrés, ni composés de deux quarrés, comme 2f , 33, 77, etc., ce qui a fait dire à Bachet sur la division proposée de 21 en deux quarrés : quod quidem impossihile est, ut reor, cîini is neque quadratus sit, neque suapte natura cumpositus e.r duohus quadratis, où le mot de reor marque évidemment qu'il n'a point su la démonstration de cette impossibilité, laquelle j'ai enfin trouvée et comprise généralement dans la proposition suivante :

4. Si un nombre donné est divisé par le plus grand quarré qui le mesure, et que le quotient se trouw mesuré par un nombre premier moindre

( ' ) J'oir LeUrc XL, 6.

( 2 ) f'oir Tome I, Observationx XXV et XXVI sur Dioplianle.

( 3) Celte proposition avait été, en même temps que le second théorème énoncé Lettre XII, 3, envoyée par Merscnne à Deseartes, le 22 mars i638, comme démontrée par Fermât.

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(/(' l'ii/iilc (jit'itn multiple du (/iid/cniairc. le noDibrc donne n'est m (/iKirrè. ni compose de deux qaarrès. ni en e/itiers. ni en fractions.

Exemple : Soit donni' H'i. Le plus grand (luarri' qui io mesure est 1, le (|uotieiU ■^\, l(M|uel est mesuré par > ou bien par 7, moindres de l'unité qu'un multiple de i. Je dis que S\ n'est ni quarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers, ni en IVai'lions.

Soit donné 77. Le plus grand quarré (jui le mesure est l'unité; le (|U(i(ient 77, (|ui est iei le même que le nombre donné, se trouve mesuré par 11 (111 |tar 7, moindres de l'unilé qu'un multiple du ([uaternaire. .le dis (|ue 77 n'est ni (|uai'ré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers ni en fractions. Etc.

Je vous avoue franchement que je n'ai rien trouvé en nombres qui m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition, et je serai bien aise que vous fassiez clfort de la trouver, quand ce ne seroit que jMiur apprendre si j'estime plus mon invention qu'elle ne vaut.

5. J'ai démontré ensuite cette j)roposition, qui sert à l'invention des nombres premiers :

.*n/ ///; nombre est conipose de deux f/i/arre's pre/niers entre eux. Je dis (pi il ne peut être divisé par aucun nond>re premier moindre de t' unité (péun multiple du quaternaire.

Comme, par exemple, ajoutez l'unilé, si vous voulez, à un quarré paii', soit le quarré 10 oooooo 000, lequcd avec i fait 10 000 000 001 . Je dis que 10 000 000 001 ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de 4. <'l îiiusi, lorsque vous vomirez éprouver s'il est nombre premier, il ne faudi-a point le diviser ni par '5, ni par 7, ni par i t, etc.

6. Si ne fanl-il pas oublier tout ii fait la (léoim'trie. Voici ce ((ii'on m'a proposé et que j'ai trouvé tout aussitôt :

l'er dut uni extra rel intra parabole» punetum. rectum diieere ipiiv abscindat segment uni a parabole U'ipude data spalio. lit. si pu/icliim sit