MÉTHODE DE MAX1MIS ET MINIMIS
et de l'autre costé
- G in A in E — G in Aq. bis-f- B in Aq. — Z in Aq.
Effaçons tous les homogènes parmi lesquels E se retrouve, restera
B in Z in G — Aq. in G — B in Z in A bis — Z in Aq. bis + Z? in Aq. bis
esgal à
— G in Aq. bis + Z? in Aq. — Z in Aq.
et par transposition
— B in Aq. -\- Z in Aq. — G in Aq. -+- B in Z in A bis
sera esgal à
B in Z in G.
Par la résolution de cette équation, nous trouuerons la valeur de la ligne si , c'est à dire la valeur de MN, et par conséquent le poinct N. Et nous treuuerons la vérité de la proposition de Pappus (') qui dit que pour treuuer le point N il faut
faire
comme le rectangle OMD au rectangle OlD
ainsy le quarré Mi\ au quarré NI,
car la résolution de nostre équation nous conduit à la mesme construction.
Pour l'application de cette méthode aux tangentes, voiey comme quoy ie procède.
Soit Yellipse par exemple ZDN {fig. 20), de laquelle l'axe soit ZN et le centre R (2). Prenons un point comme D dans
(•) Fnirie texte de Pappus cité au tome I, p. 142, note ■>..
(2) Dans son écrit précédent de Tangentibus linearum curvarum (t. I, p. iij i3f>), Fermai avait donné la construction delà tangente à la parabole.
la circonférence, duquel il faut tirer DM qui touche l'ellipse. Tirons l'appliquée DO et supposons que OZ, qui est donnée, s'appelle B et ON, aussy donnée, s'appelle G; faignons OM, inconnue que nous cerclions, s'appelle ^; or nous entendons
par OM la portion de l'axe comprise entre le point O et le concours de la tangente.
Puisque DM touche l'ellipse, si nous tirons IEV parallèle à DO par le point V, pris à discrétion entre O et N, il est certain que cette ligne IEV coupera la tangente DM et l'ellipse aussy, comme aux points E et I; et parce que la ligne DM touche l'ellipse, tous ses points horsmis D seront hors de l'ellipse ; donc la ligne IV sera plus grande que la ligne EV. Il y aura donc plus grande proportion
du quarré DO au quarré EV que du quarré DO au quarré IV.
Or
comme le quarré DO au quarré EV
METHODE DE MAXIMIS ET MINIM1S. 81
ainsy (parla propriété de l'ellipse)
le rectangle ZON est au rectangle ZVN et
comme le quarré LMJ au quarré IV, ainsy le quarré OM au quarré VM.
Donc il y a plus grande raison
du rectangle ZON au rectangle ZVN que
du quarré OM au quarré VM.
Feignons OV , prise à discrétion, esgale à E :
le rectangle ZON en notes sera B in G;
le rectangle ZVN en notes sera B in G — B in E -\- G in E — Eq. ;
le quarré OM en notes sera Aq. ;
et
le quarré VM en notes sera Aq.-\- Eq. — A in E bis.
Il y aura donc plus grande raison
de B in G à B in G — B in E + G in E — Eq. que
de Aq. à Aq.-\- Eq. — A in E bis.
Par conséquent, si vous multipliés le ier terme par le dernier, et le 2me par le 3me
B in G in Aq. 4- B in G in Eq. — ■ B in. G in A in /ibis,
qui est le produit du ier terme par le dernier, sera plus grand que
// in G in Aq. — B in E in Aq.-\-G in E in Aq. — Aq. in Eq.
Il faut donc suivant la précédente méthode comparer ces deux produits per adœquaLitatem. Ostons ce qu'ils ont de
Kkrmat. — Supplément. ■ ■ i
commun et diuisons le reste par E\ restera
d'un costé B in G in E — B in G in A bis,
et de l'autre — B in Aq.-\- G in Aq. — Aq. in E .
Effaçons les homogènes qui participent de la ligne E; restera
d'un coslé — B in G in A bis,
et de l'autre costé — B in Aq. -\- G in Aq.
Lesquels deux termes il faut maintenant suiuant la précédente méthode égaler tout à bon; en diuisant le tout parv^ et transportant deûement les termes, nous treuuerons
B in A — G in A esgal à B in G bis.
Vous voyez que cette résolution est la mesme que celle d'Apollonius ('); car par ma construction pour treuuer la tangente, il faut faire
comme B — G à G ainsy /V bis à A , c'est à dire
comme ZO — ON à ON ainsy ZO bis à OM ; et par celle d'Apollonius, il faut faire
comme ZO à ON ainsy ZMàMN;
or ces deux constructions, comme il paroist, reviennent à la mesme.
Je pourrois adiouster plusieurs autres exemples, tant du premier que du second cas de ma méthode, mais ceux cy suffisent et feront assez voir qu'elle est générale et qu'elle ne trompe iamais. le n'adiouste point non plus la démonstration
(*) Apollonius, Sectiones conicœ, I, 34-
