LA MÉTHODE DE FERMAT

(Tomes I, p. 84-87 ! H. P- i, 5, i4, >oô, m.)

(Londres, British Muséum, Harleian Mss. 679G, art. 18, f°" 155 reclo-lGl verso. — Copio dressée de la main de Thomas Ilobbes ('). — L'écrit a été publié dans le Bulletin t/e* Sciences Mathématiques, s. Il, t. XLII, 1918, p. 169-177.)

Les rapports de Fermât avec Beaugrand, l'ancien ami de Viète, remontent à une époque incertaine, avant l'année i635. Beaugrand était le dépositaire à Paris des manuscrits de Fermât et nous avons vu (p. 85) que Fermât lui envoya en i(>35 sa méthode pour la détermination des centres de gravité, application de sa méthode de maximis et minimis. La même année Beaugrand était en possession de l'écrit de Fermât sur la construction d'une parabole donnée par quatre de ses points, dont on trouve une copie dans les deux recueils manuscrits de Groningue et de Florence (voir l'Introduction, p. xvi-xvii) et qui a été publié

(') Beaugrand avait fait la connaissance personnelle du philosophe anglais en i634, lorsque celui-ci fit quelque séjour à Pans (Œuvres de Descartes, éd. cit., t. III , 1899, p. 34aj et elle fut renouvelée pendant un autre séjour de Hobbes à Paris pendant huit mois, d'où il retournait en Angleterre au printemps de 1637. En raison des troubles qui agitaient l'Angleterre, le philosophe se fixa à Paris en novembre 1640; mais alors Beaugrand s'était déjà alité, pour succomber vers le Noël de 1G40. Ce n'est qu'après un séjour de dix années que Hobbes quitta définitivement la France.

Tome I, 1891, p. 84-87. C'est ce qui résulte du fait que Beaugrand communiquait ce problème pendant son voyage en Italie durant l'automne de iG35, à Cavalieri ('). D'ailleurs l'écrit imprimé (t. I, p. 87-89) sous le titre supposé de Loci ad très lineas demonstralio, d'après une copie envoyée à Carcavi, porte dans nos deux recueils (où il fait suite immédiate au problème de la parabole) le titre de Altéra propositio missa ad D. B., c'est-à-dire à Beaugrand (voir les Variantes au Document Vf), étant tirée sans doute de cet original, dont Fermât écrivait dans une lettre du 20 avril 1637 qu'il l'avait envoyé à Beaugrand « il y a longtemps » (t. II, p. io5). L'estime de Fermât pour Beaugrand ressort de diverses lettres du géomètre de Toulouse à Mersenne de l'année i636 (t. II, 1894, p. 4-5, i4 et ni). On ne peut guère douter que la méthode de Fermât pour le tracé des tangentes aux courbes planes était connue aussi de son ami intime, avant de parvenir à la connaissance des autres mathématiciens de Paris. Néanmoins il y a toute apparence que Beaugrand a gardé cette méthode par devers lui.

Son Ouvrage sur la question de géostatique, qui avait paru en i636, étant vivement critiqué par divers géomètres dans des lettres particulières (voir ci-avant, p. 33-34) et dans un livre imprimé, à l'exhortation de Desargues, par Guy de la Brosse; Beaugrand trouva bientôt l'occasion de mettre, lui aussi, la critique de son côté.

Au printemps de 1637 les feuilles du Discours de Descartes, imprimées en Hollande, arrivèrent ;i Paris entre les mains de Mersenne pour obtenir un privilège français. On sait que Beaugrand avait coutume de signer de tels privilèges en sa qualité de secrétaire du roi (2). II eut connaissance des feuilles qui traitaient de la Dioptrique et les envoya,

(') Le Opère di Galileo Galilei, éd. naz., vol. XVI, iyo5, p. 3 \ ~> el (66. Plus tard Cavalieri a inséré sa propre solution du problème dans ses E.venitationes geonwtricœ (Bononiye, 1647), p. 496-498.

(2) Par exemple pour l'Ouvrage de Mersenne, publié en i634, el cité ci-avant p. 3?., note 2; les lettres patentes pour Fermât en date du >o décembre 1637, t. IV, 1912, p. 22, note 1, paragraphe 2; Les nouvelles pensées de Galilée, etc., publiées par iMersciine en 1639.

contrairement aux intentions de l'auteur et sans doute à l'insu de Mersenne ( ' ), à Fermât qui envoya ses remarques sur la déduction de la loi des sinus des le mois d'avril ou de mai 1637 à Mersenne, qui les envoya à son tour à Descartes à la fin de septembre. Lorsque l'Ouvrage entier du philosophe fut distribué entre les mains des mathématiciens de Paris vers la fin de l'année 1637, c'était surtout la méthode des tangentes de Descartes qui attirait l'attention. Celle-ci, qui regardait la tangente comme limite de la sécante, ne pouvait être appliquée qu'aux courbes algébriques seules, tandis que celle de Fermât, se fondant sur sa théorie des maxima et minima, s'appliquait à toutes sortes de courbes. Nous avons déjà vu que Carcavi remit à la fin de l'année 1637 à Mersenne le plus ancien exposé que nous connaissons de la méthode de Fermât pour le tracé des tangentes (t. I, 1891, p. 1 34-i 36) pour l'envoyer à Descartes. Quant à Beaugrand, il promit vers la même époque aux mathématiciens de Paris « qu'il donnerait dans une préface des moyens pour trouver les tangentes de toutes les lignes courbes, qui seraient meilleurs que ceux émis dans cet ouvrage » (Œuvres de Descaries, éd. cit., t. I, 1897, p. 478 et 479 >•

Après que Roberval et Etienne Pascal eurent engagé, au commencement de l'année 1 638, une polémique avec Descartes sur la méthode de Fermai, il apparait que Beaugrand continua de s'occuper d'autres critiques encore sur la publication du philosophe. Ceci résulte en particulier d'une lettre de Descartes à Mersenne de mars i638 (Œuvres de Descaries, éd. cit., t. II, 1898, p. 82) et de la lettre de Desargues à Mersenne du 4 avril i638, déjà citée (p. 73, note 1). On connaît d'ailleurs quatre critiques de Beaugrand regardant la partie algébrique du travail de Descartes : une longue lettre à Mersenne, dont la date doit être fixée vers le mois d'avril i638 (Œuvres de Descartes, éd. cit., t. V, 1903, p. 5o3-5i2)et trois pamphlets anonymes, répandus à Paris sous formes manuscrites, dont le premier date probablement

(!) Œuvres de Descartes, éd. cit., t. I, 1897, p. 335 et 390-391 ; t. II, 1898, p. 25,

d'avant le mois de juin i638 ('). Nous faisons suivre ci-dessous une autre critique, qui regarde en effet le problème de la construction des tangentes. On voit par le texte même (page m ci-après) que l'auteur, dont l'écrit ne porte pas de nom, n'est autre que Beaugrand. Quant à la date, qui n'y figure pas plus qu'aux autres écrits volants du même auteur, nous croyons pouvoir la fixer à l'automne de i638. C'est ce qui semble résulter de la mention dans cet écrit de la première courbe à laquelle Debeaune appliqua le problème inverse des tangentes (ci-après, p. 109, 1 10), problème qui était connu de Fermât au milieu de juin i638 (t. II, 1894, p. 162).

Pour cette première courbe, Beaugrand lit parvenir la solution à Debeaune, qui en parlait dans sa lettre à Mersenne du 25 septembre i638 (OEuvres de Descartes, éd. cit., t. V, 1903, p. 5i5) (2).

On peut supposer que notre écrit répond à celui qui fut demandé par Debeaune dans une lettre à Roberval du 10 octobre i6'38, lorsqu'il le pria « de m'envoyer au plus tost, par nostre messager, la méthode de Mr Fermât, que vous m'avés promis, avec l'analyse de ma première ligne pour m'en servir d' exemple » (Œuvres de Descartes, t. V, igo3, p. 5 18). En effet, l'écrit suivant n'est qu'une exposition de la méthode de Fermât.

A l'égard des exemples donnés par Beaugrand, nous remarquons que Fermât n'avait envoyé à Paris, avant cette époque, que l'application de sa méthode aux sections coniques (le premier écrit de Tangentibus linearum curvarum de 1637 et celui donné ci-avant, p. 74 et suiv., et au galand ou nœud de ruban, qu'on a appelé plus tard le folium de Descartes, dans un écrit daté de juin i638 (t. H, 1894, p. 154-162). Sous ces rapports, l'exposé de Beaugrand, divulgué

OP. Tannerv, La correspondance de Descartes dans les Inédits du fonds Libri ( Paris, i893), p. 4i-55.

(2) Il est parlé des solutions du problème inverse des tangentes à l'égard de la première courbe de Debeaune, trouvées par Roberval et Beaugrand, aussi dans la lettre de Descartes à Mersenne du i5 novembre i638 {OEuvres de Descartes, éd. cit., t. II, 1898, p. 134-435, voir aussi p. \'\\). Mais voir pour une discussion plus complète notre article dans le Bulletin des Sciences math., s. II, t. XL1I, 1918, p. 164-167.

parmi les mathématiciens de Paris, peut avoir contribué hautement à l'aire mieux comprendre la méthode du géomètre de Toulouse.

DE LA. MANIÈRE DE TROUVER LES TANGENTES DES LIGNES COURBES PAR L'ALGÈBRE ET DES 1MPEKFECTIONS DE CELLE DU S. DES C.

CfherJ A [mi],

Pour te mieux faire connoistre les defTauts de la façon du S. des Cartes pour trouuer des lignes droites qui coupent les courbes données à angles droicts, je veux te monstrer l'artifice dont il est vraysemblable que Apollonius s'est seruy pour trouuer les tangentes des sections coniques, qui est gênerai et qui peut estre employé à toutes sortes de lignes courbes sans aucune exception.

Soit vne Ellipse ACH {fig. 20) et qu'il faille tirer vne ligne

droite qui la touche au poinctC. Tracez l'axe, ou vn autre diamètre, comme AB, et la ligne droite HCE, supposant seulement que lepoinctH soit dans l'Ellipse avec les ordonnées CD, HG. D'autant que les lignes BD, DC, DA sont données, nous nommerons la première b, la seconde h et la troisiesme d. Et la ligne DE estant celle dont nous voulons chercher la mesure pour sçauoir par quel poinct du diamètre BA doit passer la droicte qui touche l'Ellipse au poinct C, nous l'appellerons a, et la ligne DG o, pour la rayson que je toucheray ci-apres. De là il s'ensuit que le rectangle BDA est bd, le rec-

tangle BGA bd — do H- ob — oo. Et y ayant mesme proportion de DE à DG que de EG à GH, GH sera 0,l + ah. D'ailleurs y ayant, aussy mesme proportion du rectangle BDA au rectangle BGA que du quarré de DC au quarré de HG par la 21 proposition , i d'Apollonius, le quarré de HG sera

et par conséquent

— do

-\-bo

— oo

— do -\--bo '

kl,

, , i oh-\-ah sera esgal au quarré de

Multipliant, diuisant et ostant les quantkez qui s'effacent mutuellement en cette équation, bdo -+- ibda sera esgal à

— dda -f- aab — oa<i.

Or si la ligne HGE touche l'ellipse au poinct C, il est nécessaire que la ligne GD soit o, c'est a dire nulle, auquel cas il est très euident que toutes les quantitez qu'elle aura multipliées sont nulles, et (pie, si nous les ostez de la précédente équation, soit qu'elles soient marquées de l'un ou l'autre signe, -+- ibda demeurera esgal à — dda -h aab, d'où uous connoistrez que

2 bd il!

. . est la valeur de a, et que, si

Bl) moins l)\ esl ;ï l)A comme > BD ;'i DE,

ou bien si

BD est à DA comme BE à AE,

la droicte ECH touchera l'Ellipse en C, ainsi que demonstre Apollonius 34™" proposition, i.

Si la ligne ACH est vne hyperbole on conclura auec la

mesme facilité crue

ou b

îen si

—r est la valeur d'à, et que si

BD plus DA est à DA comme aBD à DE, BD est à DA comme BE à AE,

la ligne HCE touchera l'hyperbole au poinct C, comme prouve Apollonius en la mesme proposition.

Fig. 26.

Mais, si au lieu d'vne Ellipse ou d'vue hyperbole, vous conceuez que ACH soit vne ligne courbe, dont la nature soit telle que les lignes DC, HG, S, T, X, Z, etc. y estant continuellemen t proportionnelles ,

le rectangle BDA soit au rectangle BGA comme DG a T ou comme DC a À ou bien comme DC a Z ,

si vous faictes la ligne DE de telle mesure que

BD soit à DA comme BD plus DE, ou comme BD plus 2 DE. ou bien comme BD plus 3 DE, etc. y est à AE,

la ligne droite HEC touchera chacune de ces courbes. Et si on suppose que ACH soit vne parabole, on conclura par le

mesme raisonnement que si

DB est à DA comme DE à AE,

la ligne HCE touchera la parabole au poinct C, qui est vne proposition qui n'est point dans Apollonius, et qui se peut aussy demonstrer facilement parla ime proposition de ma Parabolométrie (( ).

Si tu prens la peine de chercher les tangentes des mesmes lignes par l'inuention que le Sr des Cartes s'attribue et qu'il dit n'estre pas vne des moindres de sa méthode (2), il te sera facile de juger combien celle-cy est plus simple, facile et générale, et particulièrement si tu suppose que les ordonnées ne rencontrent pas leur diamètre à angles droicts, comme il est nécessaire en sa méthode, si on ne veut s'embarasser dans vn labyrinte dont l'issue seroit extraordinairement difficile. C'est ce qui l'a obligé luy mesme, lorsqu'il a voulu pratiquer sa reigle en la ligne courbe, qu'il nomme seconde parabole (3), de conceuoir cette ligne comme engendrée par le mouuement d'vne parabole sur son axe et non sur vn diamètre, qui est coupé obliquement par ses ordonnées.

Au lieu que par la méthode précédente, vous trouuerez vn théorème général suiuant lequel il vous sera facile de tirer vne ligne droite qui touche cette seconde parabole à vn poinct

(*) Ccl Ouvrage de Beaugrand, resté manuscrit, semble avoir traité des parabolos dis degré supérieur, dont le concept était dû aussi à Fermât. Dans une lettre â Roberval, du 22 septembre i636, Fermât fait mention spécialement de la parabole cubique en rappelant « que M. de Beaugrand, à qui j'en fis la proposition, l'appolle parabole solide » (t. II, p. 73).

(2) Géométrie, éd. de iG'j;, p. 35 1.

(3) lùid., p. 337 et suiv., 343-344, 4o5 et suiv., et 412. — Les réflexions de Descartes sur cette courbe étaient déjà discutées sous d'autres rapports par Roberval au printemps de 1638 (Œuvres de Descartes, éd. cit., t. Il, 1898, p. u/t et (56-158). On y revenait encore en 1 « 4 g (lùid., t. V, iqo3, p. 374, 3g; et suiv., et 4«7 et suiv.).

Fermât. — Supplément. ' i

donné, en quelque façon qu'on se l'imagine auoir esté produite.

Soient les deux lignes droites AB, AX {fi g. 27). Si In parabole KCH se meut tellement sur AX que celuy de ses diamètres , qui est coupé par ses ordonnées à angles de mesme grandeur que

l'angle BAX, ne s'en sépare en façon quelconque, et si la ligne droite BL se meut circulaire ment à V eut our du poinct B, en sorte que le point L soit tousiours esgalement distant du poinct K, qui est le sommet de la parabole, la courbe, qui sera descrite par l'intersection de la ligne droite BL et de la parabolique KCH, sera celle que le S. des Cartes nomme assez peu bien seconde parabole, pour ce que par la mesme raison il faudroit nommer l'hyperbole, c'est a dire vne ligne courbe, vne seconde ligne droite, attendu que si HCK estoit vne ligne droitte et non vne parabole, vous descririez par ce mouuement vne hyperbole.

Ne laissons pas de trouuer une ligne droite qui la touche au poinct C, pris où il plaira.

Du poinct C {fig. 27 et 28) et du poinct H, qu'il faut imaginer estre en la courbe HC, tirez parallèlement à AX les droites HG, CD. Et nommez BA, b; AD, y; DC, x; KL, c; le costé droit (') de la parabole KCH, d; DE, a. D'autant que les quatre

( ' ) Double paramètre ou / dans l'équation y2 = le (Apollonius, Coniques I, prop. 11).

lignes BD, CD, CS, LS sont proportionnelles, LS sera j- — ,

SKc

xvd

:, et le quarré de CS cd -h £zr> d'ou il s'ensuit

Fig. 28.