G DE A
que jy sera esgal à cd-\--^- — Et par conséquent .r, c'est à dire DC, sera
— yyy ~^~yy^ -\-ycd — °db
yd
Par le mesme raisonnement, on monstre que HGestcp, et
pour ce que
DE est à DC comme EG à GH,
GH sera aussi x ('). Donc
— yyy — ^ yy° — ^ y°° — 00°
-\-yyb -j- 2 y°b ~\~ °°b ycd -+- ocd - cdb
-yyy
- byy -cdy
- bcd
yyy - byy
- cdy -bcd
yd -\-od
— égal a x :
dya
Multipliant et diuisant les termes de l'Equation qui résulte de ces deux valeurs de la ligne HG, et ostant les quantitez qui
(i) En effet GH = x
, d'où l'on lire la valeur de x en passant par la limite.
La valeur de tp qui suit, se trouve en remplaçant dans l'expression trouvée pour DC la valeur de y par y + o.
s'effacent mutuellement,
+ 2y« a + 3 yyao +yaoo \ sera j + yiy - /" b - yycd + ybcd-± bcda yyab — yabo ) égal à ( -\-fo —yybo — jcofo + bcdo.
Après cette réduction et non deuant, effacez toutes les grandeurs que la quantité nulle, c'est adiré o, aura multipliée et vous apprendrez que
+ r>v y \) yycd + ybcd — 2y"'-+-yyb-+-bcd
est la valeur de a, c'est à dire de DE ('), et par conséquent, ayant l'autre poinct par où la tangente de cette ligne courbe doit passer, il sera facile de la tracer ( 2 ) .
Tuvoy que ien'ay point supposé que l'angle BAX fustdroict comme le S. des Cartes et que la construction, qui se tire de cette analyse, a lieu lorsqu'il est oblique tout ainsy que quand il est droit. Je ne me suis point seruy non plus pour trouuer la valeur de la ligne DE d'autres équations que de la principale qui n'a pas monté iusques au sixiesme degré comme la sienne.
Mais ce n'est pas tout. Bien que l'on suppose que le diamètre coupe ses ordonnées à angles droicts, le procédé de sa reigle ne laisse pas d'estre assez soutient si long et si pénible, qu'il a faict perdre l'escrime au Sr de Beaulne, qui s'en vouloit seruir pour trouuer la tangente de la ligne courbe qui se descrit ainsy :
(') Ayant posé o nulle, les deux positions de la parabole génératrice s'approchent à distance infiniment petite et la corde HC devient tangente.
(2) Ce qui précède forme la première détermination que l'on connaisse, de la tangente à la parabole de Descartes par voie analytique. Entre les années 1637 et 1640, elle fut construite aussi par Roberval, au moyen de sa célèbre méthode mécanique; il écrivit à Fermât, le 4 août 1G40, qu'il avait construit par ce moyen les tangentes « do toutes les courbes qui ont pu venir à ma connoissance ... On trouve exécutée sa construction dans l'exposé des Observations qui est imprimé dans les Divers ouvrages de mathématique, etc. (Paris, 1693), p. iio-iii.
Prenez la ligne droite SAX {fig. 29) pour son axe, lepoinct A
pour son sommet, et dans la dicte ligne tel poinct qu'il vous plaira
comme E; et ayant esleué la perpendiculaire EF, si vous la
f aictes es gale a la troisiesme proportionnelle aux lignes SE,
Fig. 29.
AE, le poinct F sera dans la courbe. De rtiesme, si LM est perpendiculaire à AE et troisiesme proportionnelle aux lignes SL, AL, le poinct M sera dans cette courbe, et ainsy vous trouuerez tous ses autres poinct s.
Si vous desirez auoir vne ligne qui la touche au poinct F, tirez la ligne droite XFM, supposant que le poinct M soit en cette courbe, et nommez AE, d; SA, b; EL, o; EX, e.
D'autant que par la construction de cette courbe SE, AE, EF sont en proportion continue, EF sera ,, , > et pour" la
mesme raison LM sera — r-— 7— Et les quatre lignes \h.
XL, EF, LM estant proportionnelles,
dde-\- ddo d-\-b
sei'a esgal à
dde -f- 2 doe-\- 00e d-\-b-\-o
Multipliant, diuisant etostant toutes quantitez qui s'efïacent mutuellement
dde -\- deo -\- 1 dbe -\- obe sera es gai à ddd -f- bdd -+- orfrf.
Ostant tous les termes que la quantité nulle a multipliés, vous trouuerez que la valeur d'e, c'est à dire de XE, sera
— i '-r- Et par conséquent, si la droite AY est double de AS
d-\-ib r l
et XE de telle -grandeur que
YE soit à SA comme AE à AX,
la droite X.F touchera cette courbe en F, qui est la résolution que ie donnav audict S. de Reaulne sur cette question, de laquelle il mandoit avoir besoin dans quelque dessein touchant la Dioptrique (').
Et ayant considéré la nature de cette ligne, i'ay remarqué que ce n'estoit autre chose qu'vne hyperbole, dont le costé droit et le trauersant (2) se trouuent en cette façon : Tirez la perpendiculaire à YA et esgale à 2AY et tirez DAC et la droite YN perpendiculaire sur DA, AN sera le costé droit et AD le traversant; et les ordonnées, comme FC, MG, seront toutes parallèles à AL (*).
Or afin que tu puisse pleinement considérer l'usage de la
( •) Voir sur le manuscrit de la Dioptrique de Debeaune la Préface de l'Ouvrage de Van Schooten De organica conicarum sectionum descriptione (if>46) et deux lettres de Collins dans la Correspondence of scientific men. éd. Rigaud, vol. I (Oxford, 184 1 ), p. '48, 162.
(2) Distance des deux points où le diamètre rencontre les deux branches de l'hyperbole (Apollonius, Coniques, I, prop. 12).
(3) Avant l'envoi de Beaugrand en septembre i638 [voir ci-avant p. 101) et de Descartes au 1 1 octobre i638, Debeaune n'avait pas reconnu la courbe comme une hyperbole ; de même aussi, Roberval ne l'avait fait [Œuvres de Descartes, éd. cit., t. II, p. 4'-io, 424» 434-35, 444; t. V, p. 517, 528). Depuis, le géomètre de Blois détermina la courbe et y appliqua le problème direct des tangentes dans ses Notes brieves sur la méthode algebraïque de Mr Des Cartes, dont on trouve une copie de fol. 267 à 290 du manuscrit cité de jHobbes, mais qui n'étaient connues jusqu'ici que dans la traduction latine, dressée par Van Schooten depuis 1639 et publiée en 1649 et i65g [voir les pages i3i, 146 ou 119, 1 3 1 de ces éditions).
quantité nulle que l'introduits en la recherche des tangentes, je ueux t'en donner encor vn exemple en la première conchoïde de Nicomède, puisque le S. des Cartes aduoùe (') luy mesme que si on uouloit trouuer la tangente de cette ligne par la méthode qu'il a expliquée, on s'engageroit dans vn calcul autant ou plus long que aucun de ceux qu'il a faicts auparavant.
Que les deux lignes BE, AD {fig. 3o) s' 'entrecoupent à angles droits, et prenez en V une des deux les/joinctsA, D, dont Vvn sera
Fig. 3o.
JVI
EV l\
le Pôle et Vautre le sommet de la courbe. Et tirant du poinct A tant de droictes que Von voudra, comme AEC, AIM, si vous faictes CE, IM es gales à BD, les poincts C, M seront dans la courbe.
Pour trouuer suivant quelles loix sa tangente, au poinct C par exemple, doit estre descrite, tirez KCM en sorte que le poinct K soit en la droite EB et le poinct M en la courbe, qu'il faut conceuoir au commencement estre différent du poinct C.
Nommons AE, b; EC, d; BE, k\ KE, a . ; El, o. Le quarré de IA sera bb — o.ko-\-oo. Et d'autant que la raison de IR à KE est composée de la raison de IM à MA et de la raison de AC à CE, comme Ptolemée et Theon ont demonstré, et moy en la ime proposition de la Geostatique (2), et que les
(' ) Géométrie, éd. do 1637, p. 35i-352.
(2) Ioannis DE Bbaugrand Rcgi Fraiic'uv donna regnoque ac cerario sanction a corisiliis secretisque Gcoslatice seu de vario pondère gravium secundum varia a terrée (centro) intervalla Ditsertatio mathematica . Parisiis apud Tussanum du Bray, via Iucobaea sub S|iici6 maturis MDCXXXVI. In-fol., 27 pages.
lignes IM, CE sont esgales, il y aura m es me proportion
de IK à KE que de AG à MA,
,, v ., , • »T A ab-\-ad TA ba — do ^ clou il s ensuit crue MA sera et 1A Et par
conséquent
-\- bb — 2 ko -4- oo sera essai au quarré de
Multipliant, diuisant et ostantde cette équation les quantitez qui s'effacent mutuellement
-f- oaa + ooo i / + 2 kaa
-\- 2 abb -\- bbo \ sera esgal à «. -f- 4 kao — 2 bad
-\- 2 aoo I ( -h 2 koo + ddo.
Et d'autant que, si la droicte KCM touche cette conchoïde,
il est nécessaire que El soit nulle, osiez toutes les quantitez
où o se rencontre, et puis vous connoistrez que la valeur de a
