DÉMONSTRATION
Soient tirées les lignes NO, j3M, aE, alors les triangles LNO, S (2 M, AolK, etc., seront semblables. Donc
comme LO à SM ainsy NO à M £, et
le quarré LO au quarré SM comme le quarré NO au quai ré M (3.
Mais le (juarré LO est esgal au rectangle BOD et le quarré SM esgal au rectangle BMI), donc
comme le quarré NO au quarré M (3, ainsy le rectangle BOD au rectangle BMD.
Or les lignes NO, (3 M, etc. sont parallèles. Il est manifeste par la (sic) proposition d'Apollonius que la ligne
courbe a[3NB est une Ellipse, dont le diamètre estBD et les ordonnées à iceluy diamètre les lignes NO, (jM, aE, etc. Ce qu'il falloit démonstrer.
Pour trouuer l'axe de cet Ellipse, soit diuisée BE en la plus grande et extrême raison en P, dont le plus grand segment soit BP. Après, avant tirée PQ esgale à PB, à angles droits sur Bl), tirez la ligne EQy; puis du point y la ligne yoe parallèle à AC. Après soit fait yç esgale a oy et parallèle avec Bl), ie dis que la ligne tirée par les points ç, E, sera t'axe de cet Ellipse.
Pour démonstrer cela, soyent tirées les tangentes au cercle Çïl, N9, puis les lignes r, E et 9E. Or le point E estant le centre de l'Ellipse, il est à prouuer que £E soit la plus grande de toutes les ligues tirées du centre E à la circonférence de
118 ŒUVRES J)E FEUMAT. - SUPPLEMENT.
l'Ellipse, et qu'elle soit plus grande que NE. Car par la construction
EP est à PQ comme Eo à ov,
donc E o à Sy est en la raison susdite et, par la propriété précédente du cylindre inscrit de Monsr Fermât ( ' ),
le rectangle syT-f-le quarré y8 bis
est le plus grand de tous les semblables, pourquoy la moitié,
qui est
le rectangle oyT-[-le quarré yo
sera aussy plus grand que le rectangle OLE 4- le quarré LO, c'est à dire
le rectangle ÇyT — (— le quarré ;y sera plus grand que
le rectangle NLF + le quarré LN, OU
le rectangle y;T sera plus grand que le rectangle LNF.
C'est pourquoy auss\
le quarré \r{ sera plus grand que le quarré N H
(estans esgaux auxdits rectangles) et
la ligne çy, plus grande que la ligne NG.
Or, dans les triangles rectangles E;r, et EN 9, le costé Et, du triangle Eçt] estant esgal au costé Eô du triangle ENÔ, mais le costé çr, de celuy-cy plus grand que le costé NÔ de celuy-là,
(') Voir, tome 1, 1891, p. 167-169 et les prolégomènes du présent document. Fermât avait proposé ce problème avec celui du cône inscrit en surface maximum aux géomètres de Paris, en i636. Roberval en trouva la solution par sa méthode de la composition des mouvements; on en fit grand cas à Paris, comme il apparaît d'une lettre de Carcavi à Fermât (t. II, 1894, p. ^43). C'est ce qui détermina Fermât à envoyer sa propre solution à Paris le 10 novembre \Ci\->..
comme nous auons demonstré, l'hypothenuse çE sera aussy plus grande que l'hypothenuse NE.
De mesme nous prouuerons que çE sera plus grande que toute autre ligne tirée du centre K vers la circonférence de la dicte ellipse. Donc il est manifeste que la ligne çE, ainsy trouuée, en sera l'axe. Ce qu'il estoit à prouuer.
