M MARS

[Floronee, Bibl. Naz.,Mss. Galileiani, Diseepoli, vol. CIII, l"s 113 verso-115 recto. — En haut : Extrait d'une lettre du dernier ntay iQ!\i, et en marge : .4, M. tir. — Inédit ( ').]

Nous sommes ici sans doute en présence d'une lettre, ou plutôt d'un écrit, de Fermât adressé à Pierre Brûlait, qui est nommé, dans d'autres lettres de Fermât, M. de Saint-Martin (2). Quant à la date donnée dans le manuscrit, nous croyons qu'elle est erronée et qu'il y a eu confusion avec une autre lettre de Fermât à Brûlait, datée du 3i mai i643 (t. 11, p- 2")8-'->(>o), qui n'a cependant rien de commun

(') Tandis que notre manuscrit attendait l'impression, le présent écrit fut publié par le Père Giovannozzi dans M Archivio di storia délia scienza, vol. I, 1919, p. 107-140.

(-) Pierre Brùlart, seigneur de Saint-Martin, conseiller au Grand-Conseil à Paris, comme Garcavi, et amateur de mathématiques, s'intéressait surtout, comme son ami Frenicle de Bessy, à des problèmes numériques (voir sa correspondance avec Mersenne dans l'année 1640, t. IV, p. 69 et 70); il figure dans la correspondance de Fermât dès le commencement de l'année 1640. Roberval lui dédia, le 6 juillet 1 643, son Jristarc/tus Samius qu'il feignit avoir tiré d'un vieux manuscrit que Brùlart lui aurait communiqué. Dans le Codex 70J9 de la Hofbibliothek, à Vienne, se trouve une lettre de Brûlait à Nublé du 18 mai 1646 et une autre de Desnoyers à Brùlart, datée de Varsovie, le •25 septembre 1647, dans laquelle il est question d'observations météorologiques; en ellet, il se trouve au British Muséum un manuscrit de Brùlart intitulé : Les causes et les admirables effets des météores ou diverses impressions de l'air; ce traité est dédié au surintendant Fouquet et est, par conséquent, antérieur à 1664.

METHODE DE MAXIMIS ET MIMM1S. 121

avec la présente. En effet, Fermât ayant promis à Mersenne de « satisfaire au désir de M. de Saint -Martin sur le sujet de ma méthode de Maximis et minimis » déjà dans une lettre du iG février i64'3 (t. II, p. 2J2), le présent écrit est sans doute celui que Fermât ajouta à sa lettre à Mersenne du 7 avril iG43, en écrivant : «Vous aurez maintenant lu réponse que je fuis à M. de Brulart, jointe à celle-ci; je l'ai écrite à lu hâte, comme vous verrez, et c'est lu raison qui m oblige à vous prier qu'il n'en soit pus fuit de copie et qu'elle ne sorte pus d'entre les mains de M. de Brulart », et il donne, dans cette même lettre du 7 avril 1G43, des éclaircissements ultérieurs sur des points qui pouvaient paraître douteux dans l'écrit ajouté (t. II, p. 2j3-2d4)- Cet écrit fut donc rédigé peu de temps avant le 7 avril i643 et la date du 3i mars iG43 lui convient peut-être mieux que celle du 3i mai i643.

Les recommandations de Fermât données à Mersenne peuvent expliquer pourquoi l'écrit ne figure pas dans l'édition de 1679. L'écrit mérite d'autant plus l'attention qu'il contient un développement de la méthode des extrêmes qui tend à une démonstration. En effet, comme l'écrivit Fermât en iG58, Carcavi possédait des copies de cette méthode a de toutes façons, c'est à dire avec démonstration et sans démonstration » (t. II, p. 366), mais jusqu'à présent, on ne connaissait pas d'exposés du premier genre. D'ailleurs, l'auteur y emploie la dérivée seconde (p. 12:) ci-après).

Dans l'impression de cet écrit que les éditeurs de la présente édition ont cru perdu (t. II, p. 253, note 2), nous avons gardé la notation de notre copie, qui est ^sauf dans l'emploi des lettres majuscules) complètement la notation soi-disant cartésienne.

Mon invention de Maxima et minima n'a que deux ou trois fondemens.

.le suppose premièrement (pie cette recherche aboutit à un point ou à un terme unique, comme, par exemple, quand on veut diviser une ligne en sorte que le rectangle sous les seguietts soit esgal à an space donné. Nous avons deux points

Fermât. — Sujiplémeni,. 16

122 ŒUVRES l>K FERMAT. —SUPPLÉMENT.

dans la ligne qui satisfont à la question, mais quand on cherche le plus grand de tous ces rectangles, nous n'avons qu'un seul point qui y puisse satisfaire, lequel, en l'exemple proposé, est celluy qui divise la ligne en deux parties esgales. Voylà pourquov Pappus, dans le septième livre ('), appelle tousiours maximam, unicam et singularem, et tout de mesme minimum; le mot grec est ;xova,z,ôç, qui avoit si fort estonné Commandin, qu'il avoue tout net (2) ne point entendre ce que Pappus a voulu dire par ce terme.

Il faut donc chercher un point unique, au delà et au deçà duquel tous les termes de la question soient ou tousiours plus grands ou tousiours plus petits que celuy qui sera produit par le point cherché.

Il importe donc de comparer le point unique avec ceux qui peuvent estre imaginés de chaque costé. Cela ne se peut pas faire commodément par une seule position, parce que si, par exemple, nous appelions la ligne qui nous donne le point unique, A, il faut luv adiouster, ou en soustraire, une autre quantité pour chercher le rapport entre le point unique et ceux qu'il a de chaque costé. Nous pouvons donc, pour faire la comparaison avec un autre point, pris à discrétion de l'un des costez de l'unique, appellerla ligne qui le donne, A -h E; et tout de mesme, pour faire la comparaison avec un autre point, pris de l'autre costé de l'unique, appeller la ligne qui le donne, A — E, l'un se faisant par l'addition et l'autre par la soustraction. 11 faut donc trouver une méthode par le moien de laquelle A-+-E et A — E donnent le mesme terme pour représenter /, afTin que le dict A, représente le point du mitau. Tout ce qui est à ses deux costés excède ou défaille, à

i ' ) Pappus, Wathemadcœ collectiones, éd. Commandinus (Pisauri, 1 568, fol. 196, verso A. (2 ) Gomp. tome I, p. i \i, note ■>. ; p. i '17-148 et ci-avant p. 76.

MÉTHODE DE MAXIMIS ET MIMMIS. 1-23

« mesure que nous cherchons ou la plus grande ou la plus

petite.

Or il paroist que ma méthode donne la mesme question par A -h E que par A — E, ce que l'expérience et la raison vous fairont paroistre d'abord. Car A — E donne tousiours les mêmes termes que A -\-E, et n'y a que cette différence qu'au lieu des puissances impaires, ils sont marquez des signes contraires, ce qui ne change point l'équation.

Il paroist donc que A -j- E donne la mesme équation que A — E par ma méthode. Mais cecy ne suffit pas entièrement, car s'il ne falloit que trouver une mesme équation par A H- E que par A — E, nous pourrions aussi bien prendre les deux termes qui ont, par exemple, E2 ou E3, etc. que ceux qui n'ont que E seulement, et les esgaliser l'un à l'autre, ce qui pourtant ne réussiroit pas. Il faut donc, outre la précaution précédente, qui veut que A ■+■ E donne la mesme équation que A — E, en adiouster une autre, qui veut que, si A -h E donne moins que A, A — E donne aussy moins que A; et pareillement, si A -h E donne plus que A, A — E donne aussy plus que A ( K ) .

le m'explique par l'exemple qui suit : Diviser une ligne, en .sorte que le solide sous V un des termes par le quarré de Vautre, soit le plus grand (2).

Soit A l'un des termes de la ligne qui donne le point unique ; le solide sera, la ligne estant posée I) : BA% — ./'.

A -+- E donnera :

BA - — A * + BE- — 3 A E> + ■>. BAE — 3 / - E - E > ;

(') Voir les éclaircissements que Fermât a donnés sur ces conditions dans sa lettre à Morsenne du 7 avril il>j i (t. Il, p. >">4, I. io et suiv.).

(a) Fermât a traité lo mémo e x e 1 1 1 1 > 1 < ) aux endroits insérés ci-avant p. 7 j et I. I, p. 1 j< ».

/ — E donnera :

BA'- l* + BE- 5AE*—3.BAE + 'àA*E-\-EK

Si nous prenons les termes qui sont mesurez par E simple, nous aurons en toutes les deux équations de A -+- E et de A — E, une mesme équation, car il faudra en toutes deux esgaler iEAE à 3 A'2 E. Si nous prenions les termes qui sont mesurez par E" , nous aurions une mesme équation par A-\~E que par A — E, car en toutes les deux il faudroit esgaler BEl à 3AE2. Il faut donc rendre raison ponrquoy nous prenons plutost E simple qu'aucune de ses puissances.

C'est qu'il est nécessaire qu'en toutes les deux positions les homogènes, qui se comparent avec BA"1 — A3, soient chacun moindre que BA7 — A3 . Tl faut donc que

BA* — A3-\-BE*- — IAEï+iBAE'— S'A*E—E» soient moindres que

Il \-—A\ et que