DIMANCHE 1 AVRIL

{Va, p. 173-176.)

Mon Révérend Père,

1. Je vous dois deux réponses pour les deux dernières Lettres que j'ai reçues de votre part et que j'ai trouvées toutes deux en même temps à mon retour de la campagne; le sujet de la première concerne Monsieur Desargues et celui de la seconde Monsieur de Frenicle.

2. Je suspends la réponse aux questions de Monsieur Desargues, jusques à ce que j'aurai vu par votre faveur le troisième Livre des Coniques de Monsieur Mydorge et les autres (*), s'il y en a d'imprimés depuis les deux premiers qui sont les seuls que j'ai en mon pouvoir. Je vous promets alors de m'étendre sur tout ce qu'il semble que vous desirez de moi, et cependant je suis obligé de vous dire que j'estime beaucoup Monsieur Desargues et d'autant plus qu'il est lui seul inventeur de ses Coniques; son livret, qui passe, dites-vous, pour jargon, m'a paru très intelligible et très ingénieux (^).

(0 L08 doux premiers Livres des Coniques de Mydorge avaient été publiés en i63i sous le titre :

Claudii Mydorgii patricii Parisini Prodromi Catoptricorum et Dioptricorum sivo Conicorum operis ad abdila radii reflexi et refracti mysteria praevii et facem praeferentis Libri primus et secundus. D. A. L. G. — Parisiis, Ex typograpbia I. Dedin, via Nucum, sub signe trium Columbarum, M.DC.XXXI. Cum privilégie Régis (in-folio).

Les deux suivants furent ajoutés dans la réédition de 1639 :

Claudii Mydorgii.... Libriquatuor priores. D. A. L. G. — Parisiis, Ex typograpbia L Dedin, via Nucum, sub insigni parvi Scuti, M.DC.XXXIX. Cum privilégie Régis.

on s'agit du Brouillon project d'une atteinte au,r euenemens des rencontres d'un cône avec un plan, par le S, G. D, L., dont l'édition originale, imprimée à Paris en 1689, est introuvable (Œuvres de Desargues, éd. Poudra, F, pages 97 à aSo). — La correspondance de Fermât ne coitient aucune autre indication sur les questions que lui avait posées Desargues.

* XXXVIIl bis. - 1- AVRIL 1640. 187

3. Pour Monsieur de Frenicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit ra'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difTiculté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions, il me semble que je vois devant moi

Magnum maris aDquor arandum ( ' ),

h cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité que, si je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouverois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.

4. Pour la méthode que j'oppose à la syncrise ('), ce n'est seuh»ment que pour éviter les divisions qui sont souvent très fâcheuses en cette sorte de questions.

Soit, par exemple :

bda — ùa^—a^ a;q. z*^^-.

Cette équation peut avoir trois solutions, desquelles soit par exemple n l'une qui soit donnée. 11 faut trouver les autres deux.

(*) Virgile, Enéide, II, 780 : Longa tibi exsiiia et vastum maris aequor arandum.

(*) Le fragment qui suit est inédit; il est reproduit d'après l'extrait de la Lettre du I*' avril 1640, que contient le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagni. 11 est très improbable (fue les notations algébriques, dans lesquelles dominent les habitudes cartésiennes, soient réellement celles de Fermât.

(») roir Tome I, page i47» note 3. — Comparer Lettre XXXVII, 4.

Pour y parvenir, il est nécessaire de baisser cette équation d'un degré, ce que Viëtc fait par division et M. Descartes aussi; voici comme je procède :

n est égal à a; or il y a deux lignes égales à a, inégales à n. Posons que Tune de ces deux lignes soit n -+- e, et faisons maintenant l'équation comme si /i -H e étoit a, nous aurons

bdn -\- bde — he^ — e^— bn* — 2bne — 3ne^ — «'— 3/i'e îeq. 5*°'-.

Or, puisque a est égal a n, donc

bda — ba* — a* sera égal à bdn — bn^ — /i'.

Mais

bda — 6a' — a' est égal à ;3»°*-,

par la première équation; donc

bdn — bn^— /i' est égal à c"<»*-.

Otez donc d'un côté de la seconde équation bdn — bn^ — /^', et de l'autre côté z^\ il restera

bde — 6e* — e' — 2bne — 3 ne* — 3/i*e aeq. o.

Et, le tout divisé par e, qui est une division simple et non composée comme celle de Viète et des autres, restera

bd — be — e* — 2bn — 3 ne — 3/i* aeq, o

et ainsi l'équation ne sera que quarrée et, lorsque e sera connu, en y ajoutant n, vous aurez la ligne cherchée.

Ce n'est pas que j'estime beaucoup ceci, ni que j'aie tout dit en vous donnant ce seul exemple, mais c'est seulement pour la facilité do l'opération.

5. Je viens aux propositions des quarrès (*) : sur quoi je vous puis protester que je n'ai jamais vu ni Stiphelius ni cette Clavicule et ne sais

(!) Foir LoUre XXXVIlï, 1 à 3. — Ici reprend le texte donné par les Varia. Le carré magique est inédit.

XXXVIII bis. - 1- AVRIL 1640.

ce que ces livres contiennent et, pour faire voir que j'ai vu peut-être plus loin qu'eux et satisfaire à la semonce de M. Frenicle, je vous envoie le quarré de i4 aux conditions requises, duquel, si vous otez deux enceintes, le restant sera aussi quarré aux conditions requises et, si vous ôtez encore deux enceintes de ce restant, ce qui restera sera encore quarré aux mêmes conditions.

iC)2

iG lîG

iG5

iG'i

lio.

io5

loG

loi

ii5

ii3

iGi

iG3

iGG

Le premier quarré fait en ces lignes 1379; le deuxième fait 98:3; le troisième fait 591.

6. Or, ne doutez point que je ne possède la méthode générale pour faire toute sorte de quarrés en cette sorte et aux conditions qu'olant tel nombre d'enceintes qu'on voudra, le restant soit encore quarré, etc.

Mais, a n'ôter qu'une seule enceinte, je crois la question impossible : à quoi peut-être M. Frenicle ne prit pas garde (*), lorsqu'il me proposa d'ôter trois enceintes de 22, et puis deux du restant, et puis une du restant. Car, aux deux premiers cas, la question est faisable en beaucoup de manières, mais au troisième je ne l'estime point possible : de quoi la raison dépend de ma règle, laquelle je n'ai pourtant ni trouvée ni cherchée que lorsque j'ai reçu la Lettre de M. Frenicle, et c'est pour cela que je ne détermine pas absolument l'impossibilité de ce cas, jusqu'à ce que j'aurai eu encore quelques jours pour y songer de nouveau.

7. Mais ce que je trouve de plus beau en ma règle, et que je ne crois pas avoir été touché ni par Stiphelius ni par aucun autre, est que je puis déterminer en combien de façons, et non plus, chaque quarré peut être disposé aux conditions requises, comme par exemple, s'il m'est permis de demander à M. Frenicle, en combien de sortes différentes 22 peut être rangé.

8. Je passe bien plus outre, et passant aux solides qui le sont effectivement, j'ai trouvé une règle générale pour ranger tous les cubes à l'infini, en telle façon que toutes les lignes de leurs quarrés, tant diagonales, de largeur, de longueur que de hauteur, fassent un même nombre, et déterminer outre cela en combien de façons différentes chaque cube doit être rangé, ce qui, me semble, est une des plus belles choses de l'Arithmétique.

Vous en trouverez un exemple (^) sur le cube 64, à côté du quarré

de 14.

Il faut ranger les quatre quarrés qui font la solidité du cube, en telle façon que le premier soit dessous; le deuxième soit mis sur le premier, en telle façon que 53 soit sur 4 et 56 sur i; il faut ensuite mettre le troisième sur le deuxième, en telle façon que 60 soit sur 53 et 57

(») Foir Lettre XXXVUI, 3. — Comparer Lettre XL, 3.

(*) Les carrés ci-après se trouvaient, ainsi que le carré magique reproduit plus haut (5 ), transcrits sur une feuille détachée ; ils ne sont pas non plus donnés dans les Varia.

XXXVIU bis. — i" AVRIL 1640. 191

sur S^; et enfin il faut mettre !« quatrième sur le troisième, en sorte que i3 soit sur Go et iG sur 37. Cela étant fait, vous aurez un cube qui sera divisé en douze quarrés, lesquels se trouveront tous disposés aux conditions requises; il y aura en tout 72 lignes différentes, chacune desquelles fora une même somme, savoir i3o.

9- Vous voyez combien ceci est au-dessus du tétraèdre et de l'hexai^onc (') de M. Fronicle, desquels le premier n'est pas solide en effet, mais par fiction seulement, quoique je ne doute pas qu'il ne puisse être haussé en solide; mais, dans ces deux propositions, il y a beaucoup de nombres superflus dans les entre-deux des lignes qui aboutissent ou au sommet ou au centre, ce qui fait qu'elles ne sont pas si parfaites que la mienne, en laquelle je puis encore ôter les enceintes requises et faire que le restant demeure aussi cube, etc.

Je soumets pourtant le tout à mondit S'' de Frenicle et crois que, si j'avois l'honneur d'être connu de lui, il auroit omis quelques paroles qui sont dans sa Lettre. Je ne resterai pas de lui assurer l'estime que je fais de lui et de le conjurer de me faire part de sa méthode.

10- Pour le solide de la roulotte, je le réduirois bien à des solides plus simples, mais à des sphi-rcs, cônes ou cylindres qui soient créés par des lignes droites données, il me semble qu'il est impossible.

Kxcusez si le papier me manque, etc.

11. P. -S. Depuis ma Lettre écrite (*), un de mes vieux papiers m'est

( ' ) Foir LoUre XXXVIIF, 5 cl 6.

( ' ) Ce posl-acriptum pareil apparlenir à (le la Lcitre XXXVlll do Krcnicle.

e Lettre anlorioure t

tombé en main, lequel contient une observation sur le problème XXI du Livre de Bachet, imprimé à Lyon en 1624, et qui porte pour titre : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres.

Voici l'endroit (*); il propose de ranger en quarré les nombres consécutifs en progression arithmétique, en sorte que tous les rangs, tant de haut, de bas que des côtés et par les diamètres, fassent une même somme, de quoi il baille une règle générale pour les quarrés impairs, et avoue n'en avoir pu trouver aucune pour les pairs, mais avoir fait seulement plusieurs observations particulières, par le moyen desquelles il a rangé les pairs jusques à i44-

Or, pour la règle des quarrés impairs, je dis premièrement qu'elle n'est pas de son invention, car elle est dans l'Arithmétique de Cardan (^); mais d'ailleurs elle ne résout la question que d'une seule façon, qui le peut être en plusieurs. Je dis donc :

I** Que ma méthode range les quarrés pairs et impairs à l'infini;

2^ Qu'elle les range en toutes les façons possibles, lesquelles augmentent comme les combinaisons, à mesure que les quarrés sont plus grands;

3*^ Que la règle des pairement impairs n'est pas différente de celle des pairement pairs, mais bien la même, quoique Bachet ait cru qu'elles dévoient être différentes.

Voici un exemple de ma méthode :

Il range le 25 d'une seule façon, n'y sachant autre chose, et voici

comme il le range :

( ' ) Pages 60 et suivantes de Tôdilion originale. ' (*) Practica nrithmetica et menmrandi singuUtris (MWdin, i539), réimprimée dans le quatrième tome do l'édition des Œuvres do Cardan en 10 volumes (Lyon, i663). — Cardan y donne, sans règle de construction, sept carrés magiques (de 3* à 9') qu'il attribue aux sept planètes et appelle pla/i^taires. Il parait les avoir empruntés à Agrippa deNettesheym {De occulta philosophia. Cologne, i533).

XXVlll bîs. - !•' AVRIL 16i0.

En voici trois autres que j'ai choisis parmi plusieurs que ma méthode enseigne :

u i4 25 8 iG ic) 5 l^ 21 7 lo iH 1 i'x 1^

•xo

11 range le 36 à tâtons d'une seule façon, comme s'ensuit :

i<) Il iG iS l'i '?.{

En voici une autre parmi plusieurs que ma méthode fournit; si le temps ne me manquoit, je vous en envoierois demi-douzaine :