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Mais, parce qu'on pourroit croire que la règle n'a qu'un seul exemple, lorsque les diamétraux demeurent les mêmes, voici qui fait voir le contraire : c'est un exemple de ma méthode du 64» différent de n»lui de Bachet, et qui garde néanmoins les diamétraux :

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Fermât. — U.

19i ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

En voilà assez pour donner de rexercice a M. Frenicle, car je ne sais guère rien de plus beau en rArithmétique que ces nombres que quelques uns dL^pcllent planetarios, et les autres magicos; et de fait j'ai vu plusieurs talismans, où quelques uns de ces quarrés rangés de la sorte sont décrits, et parmi plusieurs un grand, d'argent, qui contient le 49 rangé selon la méthode de Bachet, ce qui fait croire que personne n'a encore connu la générale ni le nombre des solutions qui peuvent arriver a chaque quarré.

Si la chose est sue à Paris, vous m'en éclaircirez ; en tout cas, je ne la dois qu'a moi seul.

Je suis etc.

FERMAT A MERSENNE (*)

1. Je trouve plusieurs abrégés pour trouver les nombres parfaits (^) et je dis par avance qu'il n'y en a aucun de 20 ni de 21 caractères, ce qui détruit l'opinion de ceux qui avoient cru qu'il y en avoit un dans l'enceinte de chaque dixaine; comme un depuis i jusques à 10, un autre depuis 10 jusques à 100, un autre depuis 100 jusques à 1000, etc. Ce qui n'est pas vrai, comme il parait par cet exemple; car depuis 10 000 000 000 000 000 000 jusques à la dixaine suivante, il n'y en a pas un, ni depuis la suivante à la prochaine non plus.

2. Je passe à ma proposition (') de ranger les quarrés. Vous pouvez vous assurer que j'en possède absolument la méthode, aussi bien que

( * ) Ce fragment inédit, de date incertaine, semble avoir fait partie d'une Lettre envoyée à Mersenne par Fermât avant qu'il en eût reçu la réponse de Frenicle à la précédente. («) Foir Lettre XXXVIII, 8. — Co/w/jar^r ci-après Lettre XL, 6. (») Comparer Lettres XXXVHI bis, 7, et XL, 2.

\L, - JllN 1610. 19o

oelle des oubes. et p^our vous nionlrer jusques où va la connaissance que j'en ai. le quarre de 8, qui esl 64, se peut disposer en aulant de façons différentes, et non plus, qu'il y a d'unités en ce nombre

t-e qui sans doute vous effraiera, puisque Bachet et les autres que j'ai vus n'en donnent qu'une seule.

Je rangerai de même tous les quarrés et cubes à l'intini et déterminerai en combien de façons et non plus, avec la démonstration.

3. Pour savoir si M. Frenicle ne procède point par tables* proposez lui t * » de

Troui-er un triangle rectangle duquel l'aire soii un nombre quarre : Trousrer deux quarrèquarrès desquels la somme soit quarréquarrée ; Troui-er quatre quarrés en proportion arithmétique continue : Trouver deux cubes desquels la somme soit cube;

S'il vous répond que jusques à un certain nombre de chiffres il a éprouvé que ces questions ne trouvent point de solution, assurez-vous qu'il procède par tables.

FEIOL\T A MERSENNE.

< JUS? i6W). >

Mon Ri:\'ÉREM> Père,

1. J'ai reçu avec grande satisfaction votre lettre accompagnée de i-elle ( - » de M. Frenicle, qui me confirme en l'estime que je faisois de

• ' . f'rAr Lettre XIL 2. oii Fermât prjjrosail déjà â Sainte-Croi\ trois de ces problèmes impossibles, et un deniier analo^'ue au troisième de la présente.

• * • En réponse à la Lettre WXVUI bis.

lui. J'y réponds succinctement et premièrement, sur ce qu'il a douté que j'eusse une méthode générale pour ranger tous les quarrés pairs à Tinfini. Je vous prie de l'assurer du contraire, car il est très certain qu'il y a plus de dix ans que je la découvris et en donnai dès lors des exemples sur des quarrés plus hauts que ceux de Bachet, comme M. Despagnet vous poUrroit témoigner.

2. Il est vrai que je n'avois pas songé de déterminer exactement en combien de façons ces quarrés pouvoient être ordonnés, et j'avoue que je n'avois pas vu toutes les manières qui y conduisent, puisque je doutois même que le quarré pût demeurer magique en levant une seule enceinte (*); mais, ayant trouvé une règle pour les ordonner en beaucoup de façons, je crus qu'elle les contenoit toutes, ce qui me semble excusable, puisque je vous envoyai ma Lettre aussitôt après la première méditation que j'eus fait sur ce sujet.

3. Depuis que j'ai reçu la dernière de M. Frenicle, j'ai aussitôt découvert que la question du quarré de 22 étoit de ma portée et, pource que l'opération seroit trop longue qui consiste à ranger le quarré de 22 en telle sorte que, levant trois enceintes, il reste magique, et du restant encore deux et qu'il demeure magique, et puis une seule du reste à la même condition, je me contenterai pour ce coup de vous envoyer le carré qui reste après les trois premières et les deux secondes enceintes ôtées, duquel si vous levez une seule enceinte, le reste demeure magique, comme vous verrez.

Pource que le temps me manque, je diffère à vous envoyer les cinq enceintes qui manquent pour parfaire le quarré entier de 22, jusques au départ du prochain courrier (^).

Après cela vous devez croire que, dès que j'aurai loisir, j'irai aussi avant sur ce sujet qu'il est possible.

(1) Comparer Lettres XXXVm bis, 6 et 7, et XXXIX, 2.

(*) La Lettre ainsi annoncée fait défaut.