IS

I 3 7 i5 3i 63 127 255 5ii io23 2047 4^95 8191 etc.,

soient appelés les radicaux des nombres parfaits, pource que, toutes les fois qu'ils sont premiers, ils les produisent. Mettez, au dessus de ces nombres, autant en progression naturelle : i, 2, 3, 4. 5, etc. qui soient appelés leurs exposants.

Cela supposé, je dis que :

i*^ Lorsque l'exposant d'un nombre radical est composé, son Vadical est aussi composé. Comme, parce que 6, exposant de 63, est composé, je dis que 63 est -aussi composé.

2*^ Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical moins l'unité est mesuré par le double de l'exposant. Comme, parce que 7, exposant de 127, est nombre premier, je dis que 126 est multiple de 14.

3** Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical ne peut être mesuré par aucun nombre premier que par ceux qui sont plus grands de l'unité qu'un multiple du double de l'exposant ou que le double de l'exposant. Comme, parce que it, exposant de 2047, est nombre premier, je dis qu'il ne peut être mesuré que par un nombre plus grand de l'unité que 22, comme 23, ou bien par un nombre plus grand de l'unité qu'un multiple de 22 : en effet 2047 n'est mesuré que par 23 ou par 89, duquel, si vous ôtez l'unité, reste 88, multiple de 22.

Voilà trois fort belles propositions que j'ai trouvées et prouvées non sans peine : je les puis appeler les fondements de l'invention des nombres parfaits. Je ne doute pas que M. Frenicle ne soit allé plus avant, mais je ne fais que commencer, et sans doute ces propositions passeront pour très belles dans l'esprit de ceux qui n'ont pas beaucoup

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épluché ces matières, et je serai bien aise d'apprendre le sentiment de M. de Roberval.

7. Au reste, vous ou moi avons équivoque de quelques caractères au nombre que j'avois cru parfait (*), ce que vous connoîtroz aisément puisque je vous baillois 137438 953 471 pour son radical, lequel j'ai pourtant depuis trouvé, par l'abrégé tiré de ma troisième proposition, être divisible par 223; ce que j'ai connu à la seconde division que j'ai faite, car, l'exposant dudit radical étant 37, duquel le double est 74, j'ai commencé mes divisions par 149» plus grand de l'unité que le double de 74; puis, continuant par 223, plus grand de l'unité que le triple de 74» j'ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.

De ces abrégés j'en vois déjà naître un grand nombre d'autres et mi par di veder un gran lume.

Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M. Frenicle me vient au secours et m'abrège par ce moyen ma recherche des abrégés. En tout ca^, je vous conjure de faire en sorte que M. de Roberval joigne son travail au mien, puisque je me trouve pressé de beaucoup d'occupations qui ne me laissent que fort peu de temps à vaquer à ces choses.

Je suis etc.

ROBERVAL A FERMAT

SAMEDI k AOUT 1610.

Monsieur,

1. Encore que depuis près de trois ans je n'aie eu Thonneur d'avoir commerce avec vous, je n'ai pourtant pas été privé entièrement

(*) Probablcmcnl dans la parlio perdue de la Letlre XXXIX.

du plaisir que je reçois de vos spéculations mathématiques, car le Père Mersenne m'a fait la faveur de me communiquer la plupart des lettres qu'il a reçues de vous depuis ce temps là, dans lesquelles j'ai reconnu une augmentation continuelle et très sensible en la beauté et solidité de vos pensées, auxquelles il n'y a rien que d'admirable, soit sur le sujet de la Géométrie ou de l'Arithmétique.

2. Sur tout je suis ravi de votre invention de minimis et maximis et du moyen (*) par lequel vous l'appliquez a la recherche des touchantes des lignes courbes, et ne crois pas que jusques ici il se soit vu rien sur ce sujet qui ne cédât de beaucoup à ce que vous nous en avez donné. Car l'invention de M. Descartes, à laquelle j'assigne le premier lieu après la vôtre, n'en approche que de bien loin, parce que, quoiqu'elle puisse être rendue universelle, ce qu'il n'a pas fait et le pourra maintenant a l'imitation de votre dernière addition, toutefois elle est sans comparaison plus longue, plus embarrassée et plus difficile.

3. Je vous dirai que j'ai d'autant plus admiré votre invention qu'à peine croyois-je que, pour trouver les touchantes des lignes courbes qui n'ont rapport qu'à d'autres courbes ou partie à des droites et partie à des courbes, on pût s'en servir, ce que M. Descartes avoue de la sienne sur le sujet de la roulette et autres lignes pareilles, lesquelles pour cette considération il rejette de la Géométrie (^) : sans raison, puisqu'à l'imitation de votre dernière addition, sa méthode peut être rendue universelle comme la vôtre, mais avec une difficulté, laquelle bien souvent ne se pourroit presque surmonter par un esprit humain.

4. Cette opinion fut cause que, quand je vis que vous aviez trouvé les touchantes de la roulette (') et que vous assuriez avoir la règle universelle pour toutes les lignes courbes, je crus qu'elle ne pouvoit être autre que celle que j'avois inventée au temps même que j'inventai cette roulette, laquelle règle ou méthode je n'avois encore commuer) Voir le Traité Doctrinnm tangentiuni, Tome I, pages i58 à 167.

(*) Géométrie de Descartes, éd. Hermann, Paris, 1886, page 16. (») ro/r Lettre XXXIV, 2.