XLVIII. - 15 JUIN I6il

2. J'attends maintenant qu'il vous plaise ni'envoyer la copie de mes Traités < ' ) que je vous ai si souvent demandée pour >I. Despajjnet.

Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné serviteur.

Fermât.

Ce i5 juin 1G41.

3. Depuis avoir écrit la lettre de M. Frenicle, j'ai trouvé la dernière (juestion que je lui fais (^ ) :

Etant donné un nombre , dètenniner combien de fois il peut être la somme des deux petits cotés d'un triangle rectangle.

S'il la veut, je lui en ferai part, et serai cependant bien aise de voir sa solution.

FERMAT A FREMCLE ( ' ).

< 15 jiiN 16U >

1. La proposition fondamentale des triangles rectangles est que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de |, est composé de deux quarrés (*).

( ï \ f'oir Lotire XLVI. 2.

<«) roir Lettre XLVm, 11.

(') Cette pièce inédite, reproduite d'aprèîi une copie qui ne porte ni adresse ni date, ne doit être considérée que comme un extrait d'une Lettre de Fermât. Cet le Lettre était évidemment adressée à Frenicle, dont nous avons la réponse (ci-après XLL\). datée du 2 août 1641. I>e post-scriptum de la Lettre XLVH ci-avant, adressée à Mersennele i5 juin 164 1, prouve d'ailleurs que le présent extrait a bien été fait sur la Ix>tlre pour Frenicle, mise par Fermât dans le paquet envoyé à cette date au Minime. L'auteur de l'extrait n'a copié que ce qui lui a paru avoir un intérêt mathématique et a négligé toutes les transitions d'une question à l'autre.

i^ /o/r U»ltre XLV, 2.

2. La méthode pour trouver les triangles composés en conséquence des primitifs est dans les Livres (*), ou s'en peut tirer aisément :

Soit le nombre donné 65, lequel je trouve être Thypoténuse de quatre triangles, par la règle déjà envoyée (^). Les nombres premiers de la qualité requise qui le composent sont 5 et i3. Le triangle (') de ) est 5, 4» 3; celui de 1 3 est 1 3, 12, 5.

Je multiplie la base 1 2 par la base 4» vient 48 ; puis le petit côté 5 par l'autre 3, vient i5; et derechef 12 par 3, en croix, vient 30; puis 4 par 5, vient 20.

La somme des deux premiers produits et la différence des deux seconds font les deux petits côtés d'un des triangles cherchés, qui sera par conséquent : 05, 03, lO.

Et derechef la somme des deux derniers produits et la différence des deux premiers sont les deux petits côtés d'un autre des triangles cherchés, qui sera partant : 05, 50, 33.

(Que si, au lieu de i3, 12, 5, vous aviez pris le même 3, 4» 5, en faisant la même opération, vous n'eussiez trouvé qu'un seul triangle qui est, en mon précédent exemple : 25, 24, 7.)

Les deux autres triangles sont semblables aux deux premiers et se font, l'un en multipliant les côtés du premier par l'hypoténuse du second, et l'autre en multipliant les côtés du second par l'hypoténuse du premier; ils sont donc : 05, 52, 39; 05, Oo, 25.

3. Cette méthode est générale, de sorte que toute la difficulté consiste k trouver les triangles primitifs, lorsque le nombre premier qui leur sert d'hypoténuse est donné, et cette question se réduit à la suivante déjà proposée (*) :

Etant donné un nombre premier qui surpasse de l* unité un multiple de 4, trouver les deux quarrés qui composent le dit nombre,

(*) Fermai va simplement en effet exposer la méthode de Diophante, UI, 22, pour construire quatre triangles ayant une môme hypoténuse. («) Dans la Lettre XLV, 2, 4^ (') Le triangle qui a 5 pour hypoténuse. (*) Probablement dans un passage non conservé de la présente Lettre.