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Pour avoir le côté pair du triangle, il faut prendre le double du produit d(îs racines susdites des doubles quarrés : ainsi le doubh» de 9 par 8 est i \\, et le double de 2 par i ï est 44-

Mais pour le coté impair, on prend le produit des racines des quarrés simples : ainsi ï par 17 donne 17, et 9 par i3 donne 117, le premier pour le triangle 17, \f\\, i4n le second pour 44» ^17» 12).

T. Vous voyez si j'ai eu raison de dire que les nombres susdits sont la différence de deux couples quand ils sont premiers, et de quatre couples lorsqu'ils sont divisibles par deux nombres premiers. Mais ce qui le montrera encore mieux est la façon de trouver tous les couples dont un des dits nombres est la différence : car, selon ma méthode, il est nécessaire d'avoir ces deux couples qui font comme deux souches.

Exemple : On me demande tous les quarrés et doubles quarrés dont 7 est la différence. Je cherche les deux couples utiles à chacun desquels il y a un nombre moindre que 7; j'aurai 1,8 et 9, 2. Je prends leurs racines et en fais deux colonnes séparées comme on voit ici :

Quarrés. Doubles quarrés.

Il 8

Quarrés. Doubles quarrés.

et mets en chaque colonne les racines des quarrés d'un côté et celles des doubles quarrés de l'autre. J'ai donc d'un côté 1,2; pour avoir les racines des couples suivans, je prends la somme de i, 2, qui est 3, pour la racine du double quarré, et la somme des racines des deux doubles quarrés prochains pour la racine du quarré. Ainsi la somme de 1 , 2 est 3, et celle de 3, 2 est ^ : j'ai donc 5 et 3. Pour le troisième couple, la somme de 5, 3 est 8, celle de 8 et 3 est 11. On poursuit ainsi autant qu'on veut, et l'autre colonne qui commence par 3, i, se fait de même.

A chaque colonne la rangée de main droite, dont les nombres sont pairs et impairs alternativement, contient les racines des doubles quarrés, lesquels sont plus grands que les quarrés, lorsque la racine du double quarré est paire, comme i , 2 et 1 r , 8 ; mais le double quarré esl moindre quand sa racine est impaire, ce qui a lieu lorsque le moindre quarré des deux qui composent l'hypoténuse du triangle dont la dite