VI. - 15 JUILLET
6. Je n'ai pas encore pu examiner les propositions (*) de la trisection de Tangle, ni de l'invention des deux moyennes proportionnelles. Ce sera au plus tôt.
7. A la question numérique (^), je réponds qu'elle reçoit infinies solutions, et même plusieurs manières différentes de la résoudre. Voici la meilleure et la plus aisée que j'ai imaginée :
Soient trouvés deux quarrés desquels la somme soit quarrée, comme 9 et i6; ce que je n'enseigne pas, pour être trop trivial. Soit chacun d'eux multiplié par un même nombre composé de trois quarrés seulement, comme ii. Ces deux produits seront 99 et 176 qui satisferont h la question, car chacun d'eux et leur somme sont composés de trois quarrés seulement (•).
Et ainsi, par la même voie, vous' en trouverez infinis, car, au lieu do 9 et 16, vous pouvez prendre tels autres deux quarrés que vous voudrez, desquels la somme soit quarrée, et au lieu de 11, tel autre nombre que vous voudrez composé de trois quarrés seulement.
Si vous prenez, au lieu de 1 1, un nombre composé de quatre quarrés
(») On ne retrouve plus trace, dans la Correspondance de Format, de ces propositions. On peut croire qu'il s'agit des constructions données par Descartes dans sa Géométrie (éd. Hermann, p. 75-76) pour les deux célèbres problèmes de la Géométrie antique. Mersénno, à qui elles avaient été communiquées avant la publication, les aura envoyées ù Fermai sans démonstration et sans révéler le nom do leur auteur.
(*) C'est la quatrième des cinq questions numériques proposées par Sainte-Croix (André Jumeau, prieur de) à Descartes en avril i638 {voir Lettres *de Descartes, éd. Clerselier, HI, 74). Elle était ainsi conçue (pour Descartes) :
« Trouver deux nombres, chacun desquels, comme aussi la somme do leur aggrégat, no conste que de trois tétragones. J'ai donné 3, 11, 14. J'attends que quelqu'un y satisfasse par d'autres nombres ou qu'il montre que la chose est impossible. »
La première solution donnée par cet énoncé ne paraît avoir été indiquée à Fermât que dans la réponse de Mersenne à la Lettre VL Foir Lettre X, 2. (') B ajoute en marge les décompositions suivantes :
iG
iG
ïi 99 99 99 176
seulement, comme 7, chacun des deux produits, ensemble leur somme, seront composés de quatre quarrés seulement.
Que si vous voulez non seulement deux nombres, mais trois ou tel nombre que vous voudrez, desquels un chacun, ensemble la somme de tous, soient composés de trois ou de quatre quarrés seulement, il ne faudra que trouver autant de quarrés que vous voudrez de nombres, desquels la somme soit quarrée, et les multiplier, chacun d'eux /// supra,
J'ajouterois la démonstration, mais le temps ne me le permet pas. Kn tout cas, vous pourrez faire l'essai sur la construction que je vous envoie.
8. Et vous dirai que j'ai trouvé de fort belles propositions sur ce sujet, comme :
.SY, de deux plans semblables (*), lun est compose de trois quarrés seulement, r autre le sera aussi;
Il et plusieurs autres.
9. Je désirerois que AI. de Roberval travaillât aux questions que j<» vous ai proposées (-).
10. J'ai achevé tout le Traité De locis planis ('), où il y a trente ou quarante propositions toutes très belles.
Je suis, mon Révérend Père, votre très aifectionné serviteur.
Fermât.
A Toulouse, ce i5 juillet iG36.
( » ) Nombres qui sont entre eux dans lo rapport de deux carrés. ( «) yoir la Lettre I, 12.
(») /Wrla Lettre I, 10.
