Le Théorème est cettui-cv
Si le nombre des hazards qu'on a pour avoir b soit/?, et le nombre des hazards qu'on a pour avoir c soit y, cela vaut autant que si l'on
. . bp -hcg
avait — -'
Par exemple si j'avois 2 hazards pour avoir ^ de ce qui est mis au
jeu et j hazards pour en avoir -> je multiplie ^ par 2 et - par 5. Puis
j'adjouste ensemble les produits qui sont ^ et -; la somme est —>
laquelle je divise par *> -f- 2, c'est 7 ; dont j'ay —■- Je dis qu'il m'appar-
tient ^ de ce qui est mis au jeu.
3. La première des questions de Monsieur de Fermât (*) est telle : A et B jouent à 2 dez. A gaignera en amenant 6 points. B gaignera en amenant 7 points. A poussera le dé la première fois, et puis B deux fois de suite et puis A deux fois de suite, et ainsi jusques a ce que l'un ou l'autre ait gaigné.
Pour faire les partis je nommeray d ce qui est mis au jeu, et je mettray x pour la part qui en appartient au joueur A.
Or il est évident que, quand A aura fait le premier coup et B ses deux coups de suite, et encore A l'un de ses deux coups, sans que ny l'un ny l'autre ait rencontré, que alors A aura derechef la mesme apparence pour gaigner qu'il avoit des le commencement, et que par conséquent il luy appartiendra derechef la mesme part de ce qui est mis au jeu, c'est a dire x.
Partant, lorsque A vient h faire le premier de ses deux coups de suite,
il aura
5 hazards pour avoir dj
et 3i hazards pour avoir jt, (») Pièce LXXVII, 2.
car de 3G divers coups que produisent 2 dez, il y en a 5 de G points, c'est à dire qui luy donnent d ou ce qui est mis au jeu, et 3i qui luy font manquer les G points, et ainsi luy donnent x^ le mettant en estât d'avoir encore un coup à faire devant que le tour de B soit venu. Mais
5 hazards pour avoir d ) ^ . . . , .1 , .
,01 . . valent autant par le tlieoreme précèdent cnu»
et 3i hazaras pour avoir ^i? ) * ri
2^ — '■' Ceey est donc la part de A lorsque A fait le premier de ses
deux coups de suite.
Le coup d'auparavant c'est quand B fait le dernier de ses deux coups, et parce qu'il gaigne en amenant 7 points lesquels se hmicontrent en G façons différentes et qu'alors A perd, donques à ce coup A aura
6 hazards pour avoir o ou rien, et 3o hazards pour avoir :^ >
car son tour sera venu de faire deux coups de suite; lesquels hazards
par le précédent théorème valent ^ ? ^^ - Cecy est donc la part
de A, lorsque B fait le dernier de ses 2 coups de suite. Quand donc B fait le premier de ses 2 coups, A aura
ce qui vaut
6 hazards pour avoir o, 3o hazards pour < avoir >
45oo^/-+- 9.7900 .r
Quand donc A fait le premier coup de tous, A aura
5 hazards pour avoir r/, 3i hazards pour avoir
ce qui vaut
Cecy est donc égal à x, et partant x égal a -71^-5- < ^>-
L(» parti du joueur A est donc rr^ ^^ ^^' q"' ^"^^ ^^^^ ^" j<*i^ <'t '<*
LXXVJl bis. — 6 JUILLET 1656. 325
reste — rpr- (*st le partyde B, et l'un est à l'autre comme 2?» Qih J^onf
les mesmes nombres de Monsieur de Fermât.
4. Dans la seconde question (') où il suppose que le joueur A jou(^ premièrement deux fois, et puis le joueur B trois fois et ensuite le joueur A < deux fois et puis le joueur B > trois fois, la méthode est tout a. fait semblable, et j'y trouve aussi les mesmes nombres qu(* Monsieur de Fermât, mais qu'il les faut transposer : c'est-à-dire que le party de A est à celui de B comme 874 m à 723G0, au lieu qu'il a mis 723G0 h 87451.
5. La troisième est (-) quand trois joueurs A, B et C parient avec toutes les 32 cartes que celuy qui aura plus tost un cœur gaignera, et que l'on suppose que A prend la première carte, B la seconde, C la troisième et ainsi consécutivement jusques à ce que l'un ait gaigné.
Il y a i3 cœurs parmy ces 52 cartes, c'est pourquoy s'il arrivoit qu<» toutes les autres 89 fussent prises selon ledit ordre sans que personne eust rencontre un cœur, alors ce seroit le tour du joueur A de prendn» et il auroit gaigné asseurement. Quand donc C prend la trente-neuvième carte, au cas que jusques là personne n'ait rencontré, il est certain que A aura i3 hazards pour avoir perdu et i hazard pour avoir tout ce qui est mis au jeu, que j'appelleray cl comme devant. Or,
d'avoir
i3 hazards pour avoir o,
et I hazard pour avoir ^,
cela vaut -y- par nostre théorème; d'icy jecognois que, quand B prend la trente-huitième carte, A aura
i3 hazards pour avoir o,
el 2 hazards pour avoir -7 d
( » ) Pièce LXXVn, 3.
(î) Pièce LXXVH, 4.
32e ŒUVRES J)E FERMAT.- CORRESPONDANCE.
^c'est quand B manque de rencontrer un cœur, car alors c'est à C de prendre la trente-neuvième); lesquels hazards valenl — zd. Quand A prend la trente-septième, A aura donc
i3 hazards pour avoir d, el 3 hazards pour avoir — r»
, i368 , ce qui vaut -rrrrd.
Ainsi en reculant tousjours d'une carie l'on sçaura à la fin la pari de A, lorsqu'il prend la première de toutes, et de la mesme manière se trouvera le party de B, et le reste sera celuy de C.
6. La qualrieme est (*) quand deux joueurs jouent à la prime avec \o cartes et que le joueur A enlreprend de ramener prime, et B parie que A ne réussira pas dans les quatre premières cartes. L'on m'a dit que d'avoir prime c'est avoir /» cartes différentes, à sçavoir une de chasque sorte. Je trouve donc que le party de A est à celui de B comme TOGO k 8i3c), de sorte que l'on peut bien parier 8 contre i que quelqu'un n'amesnera pas prime.
7. La cinquième et dernière question (-) esl quand deux joueurs jouent au piquet et que le premier enlreprend d'avoir 3 as dans ses douze premières caries et que l'autre parie qu'il ne les aura pas. Pour résoudre celle-cy, je supposeray qu'il prend ses 12 cartes une à une, car il n'importe aucunement. S'il arrive donc que celuy qui Tenlreprend ayant pris i r cartes ait desja renconlré 2 as, il y aura parmi les 25 cartes qui restent encore 2 as, et parlant il aura en ce cas 2 hazards pour avoir gaigné, c'est pour avoir d, et 23 hazards pour avoir o, c'esl
à dire pour perdre : ce qui vaut — d.
1») Pièce LXXVII, 5.
(») Pièce LXX vu, 7.
LXXVII bis. - 6 JUILLET 1656. 327
Quand ii a pris lo cartes, s'il a rencontré 2 as, il aura donc
2 hazards pour avoir d^ et 24 hazards pour avoir y d, c'est pour avoir seulement 2 as en 11 caries;
lesquels hazards valent ~^(L
Mais quand il a pris 10 cartes, s'il n'a encore. que i as, il y aura parmy les 2G restantes 3 as; c'est pourquoy alors il aura
3 hazards pour avoir -pd, c'est pour avoir 2 as en 1 1 caries, et 23 hazards pour avoir o, c'est pour avoir i as en 11 caries,
•ar avec cecy il ne sçauroit gagner; lesquels hîizards valent rr~^d.
Quand il a pris 9 cartes, s'il a 2 as, il aura
2 hazards pour avoir d, et 25 hazards pour avoir 4^df c'est pour avoir seulement 2 as en 10 caries,
lesquels hazards valent 5-^^-
Mais ayant pris 9 cartes, s'il n'a encore qu'r as, il aura
3 hazards pour avoir rr^ d^ c'est 2 as en ro cartes,
et 24 hazards pour avoir ô-f^» c'est i as en 10 cartes,
ce qui vaut ^-^d.
Et enfin si parmi ses 9 cartes il n'a encore aucun as, il aura
4 hazards pour avoir w-^ d, c'est i as en 10 caries,
et 23 hazards pour avoir o, c'est pas i as en 10 cartes,
car alors il ne sçauroit gaigner,
lesquels hazards valent 3 — zd.
Ainsi par cette méthode en reculant tousjours d'une carte je sçau-
ray à la fin la part du joueur A, lorsqu'il n'a encore pris aucune carte et que par conséquent il n'a pas encore i as : laquelle ayant oslée (le d, le reste sera la part du joueur B. Ce qu'il falloit trouver.
8. Si j'estois bien i nformé de Testât de la question au jeu de la chance que Monsieur de Fermât dit estre la plus malaisée (*), j'essayerois aussi de la résoudre. Pour celles que je viens de traiter, je vous prie. Monsieur, de me faire la faveur de les communiquer à Monsieur Milon, et que je puisse sçavoir si ce que Messieurs de Fermât et Pascal en auront trouvé sera conforme a ce que j'en explique. Je désire aussi fort de sçavoir s'ils ne se servent pas du mesme théorème que moy.
Lxxvm.
CARCAVl A HUYGENS (=^).
JEUDI âS SEPTEMBRE 1G56.
{Correxp, Huyg,, n» 330.)
MoNsn:i:R,
1. Il y a déjà longtemps que j'ai fait voir ii Messieurs de Ferma! et Pascal ce que vous aviez pris la peine d'envoyer à M. iMylon et à moi touchant les partis (•\), mais je n'ai pu me donner l'honnc^ur de vous faire réponse, la chose n'ayant pas dépendu absolument de moi et la commodité de ces Messieurs ne s'étant pas toujours rencontrée avec h» (lesir que j'avois de vous satisfaire.
M. Pascal se sert du même princip(» que vous et voici comme il rén()n(!e :
S'il y a tel nombre de hasards qu'on voudra, comme par exemple lo
( M Pièce LXXVn, 6.
( *) PublicSe pour la promièro fois par M. Charles Henry {Pierre de Carcavy, p. i8).
( 3) roir la Lcllrc précédente.
