LXXVIIL - 28 SEPTEMBRE

qui donnent chacun 3 pîstoles et qu'il y en ait 2 qui donnent chacun 4 pistoles, et qu'il y en ait 3 qui ôtent chacun 3 pistoles, il faut ajouter toutes les sommes ensemble et les hasards ensemble, et diviser l'un par l'autre. Le quotient est le requis, ce qui revient à une même énonciation que la vôtre.

2. Mais il ne voit pas comment cette règle peut s'appliquer à l'exemple suivant :

Si on joue en six parties, par exemple du piquet, une certaine somme et qu'un des joueurs ait deux, trois ou quatre parties et que l'on veuille quitter le jeu, quel parti il faut faire quand un a une partie à point, ou deux ou trois etc. à point, ou bien quand un a deux parties et l'autre une, etc.?

Et le dit S*" Pascal n'a trouvé la règle que lorsqu'un des joueurs a une partie à point ou quand il en a deux à point (lorsque l'on joue en plusieurs parties), mais il n'a pas la règle générale. Voici son énonciation(*) :

Il appartient à celui qui a la première partie de tant qu'on voudra, par exemple de six, sur l'argent du perdant, le produit d'autant de premiers nombres pairs que l'on joue de parties, excepté une, divisé par le produit d'autant de premiers nombres impairs. Le premier produit sera la mise du perdant, le second produit sera la part qui en appartient au gagnant.

Par exemple, si on joue en 4 parties, prenez les 3 premiers nombres pairs : 2, 4f G; multipliez l'un par l'autre, c'est 48; prenez les 3 premiers impairs : 1, 3, ji; le produit c'est i5 qui appartiendront au gagnant sur l'argent du perdant, si on a mis chacun 48 pistoles.

Cette règle sert pour la première et la seconde partie, celui qui en a deux ayant le double de celui qui ni^n a qu'une. II en a la démonstration, mais qu'il croit très difficile.

(*) Comp. Lettre LXX. 3. — L'énoocé de Carcavi est raal conçu et en désaccord avec l'exemple.

FesMAT. — IL 4^

3. Voici une autre proposition qu'il a faite à M. de Fermât, laquelle il juge sans comparaison plus difficile que toutes les autres :

Deux joueurs jouent à cette condition que la chance du premier soit 1 1 et celle du second if\ ; un troisième jette les trois dés pour eux deux et, quand il arrive ii, le premier marque un point et, quand il arrive i4» le second de son côté en marque un. Ils jouent en 12 points, mais à condition que, si celui qui jette le dé ramène 1 1 et qu'ainsi le premier marque un point, s'il arrive que le dé fasse i4 le coup d'après, le second ne marque point, mais en ôte un au premier, et ainsi réciproquement, en sorte que, si le dé amène six fois 11 et le premier ait marqué six points, si en après le dé amène trois fois de suite i4» le second ne marquera rien, mais ôtera trois points du premier. S'il arrive aussi en après que le dé fasse six fois de suite i4> il ne restera rien au premier et le second aura trois points, et s'il amène encore huit fois de suite i4 sans amener 11 entre deux, le second aura îi points et le premier rien; et s'il amène quatre fois de suite 11, le second n'aura que sept points et l'autre rien; et s'il amène cinq fois de suite i4» il (*) aura gagné. *

La question parut si difïîcile à M. Pascal qu'il douta si M. de Fermât en viendroit à bout, mais il m'envoya incontinent cette solution :

Celui qui a la chance de 11, contre celui qui a lu chance i4> peut parier 1 1 56 contre i , mais non pas 1 1 5^ contre 1 ;

et qu'ainsi la véritable raison de ce parti étoit entre les deux; par où M. Pascal ayant connu que M. Fermât avoit fort bien résolu ce qui lui avoit été proposé, il me donna les véritables nombres pour les lui envoyer et pour lui témoigner que de son côté il ne lui avoit pas proposé une chose qu'il n'eût résolue auparavant. Les voici :

Mais ce que vous trouverez de plus considérable est que le dit S*^ de

( ' ) Lisez : le second.

LXXVIU. - ±S SEPTEMBRE 1656. 331

Fermât en a la démonstration, comme aussi M. Pascal de son côté, bien qu'il y ait apparence qu'ils se soient servis d'une ditTérente méthode.

4. J'ai envoyé votre livre (*) à M. de Fermât, dont il rend très

humbles grâces et vous remercie très humblement de celui que vous avez eu la bonté de me donner

« ' > U s'agit ici d'exemplaires des premiers opuscules de Huygeus ( ihi/> ci-dessus. I»age 3ao. note n. adressés par lui à Claude Mylon pour Carcavi et Fermai (Correxp. Hujrg.^ n* 297, 306. 308, 310) aux soins de François Henry, avocat au Parlement de Paris.

Nous ne reproduisons pas, dans la lettre de Carcavi, quelques {tassage^ étrangers à ses relations avec Fermai el Pascal.