XCIX. - 21 AOUT 1658. k^l

point B, la balle ne reste pas d'avancer vers la droite autant qu'elle faisoit auparavant et n'eût pas déduit, d'un fondement non seulement incertain, mais encore faux, sa proportion des réfractions ».

Tout cela, dis-je, n'étant plus appuyé d'aucunes raisons valables, se détruit de soi-même, aussi bien que ce que vous ajoutez à la fin de la même lettre (*) : à savoir que, le second milieu se pouvant, comme j'ai dit, ouvrir avec une égale facilité de tous côtés pour faire passage a la balle, et que la balle ayant toujours une même aisance à pénétrer le second milieu en toutes sortes d'inclinaisons, il doit suivre, dites-vous, « dans l'application du raisonnement de M. Descartes, qu'en toute sorte de cas la réflexion se fera à angles égaux et que la pénétration se fera de même en tous les cas en ligne droite, le mouvement de dessous en ligne droite suivant les mêmes lois et répondant justement au mouvement de dessus à angles égaux ».

15. Car, si je me suis assez bien fait entendre, vous devez maintenant tirer d'autres conclusions que celles-là des principes de M. Descartes et devez aussi, si je ne me trompe moi-même, avoir reconnu Terreur du raisonnement duquel vous les aviez tirées. Et partant ne dites plus que le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent que par la comparaison imaginaire de M. Descartes; car c'est peut-être la plus juste et la plus claire que l'on puisse apporter pour l'expliquer. Mais, pour cela, il faut considérer la balle sans pesanteur, sans grosseur, sans figure et sans changement en sa vitesse dans toutes les lignes qu'elle parcourt : toutes lesquelles choses peuvent causer une infinité de variétés dans la réflexion et la réfraction d'une balle, mais, pource qu'elles n'ont point de lieu en l'action de la lumière [à laquelle se doit rapporter tout ce qu'il dit], M. Descartes ne les a point considérées dans le mouvement de cette balle dont il parle.

Et principalement il n'a point considéré cette circonstance que je vous prie de remarquer, qui est la plus commune et qui peut donner le plus d'occasion de douter de ce qu'a dit M. Descartes : c'est à savoir

(>) rw> Leure XCVII, 4.

Wi ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

// ny a quun seul quatre en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.

// ny a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de ^^ fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121 (*).

Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de V unité, sont nombres premiers (^ ).

Cette dernière question est d'une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu'elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il ne peut être divisé par aucun nombre.

Je mets en cet endroit la question suivante dont j'ai envoyé la démonstration a M. Frenicle, après qu'il m'a avoué et qu'il a même témoigné dans son Écrit imprimé (') qu'il n'a pu la trouver :

// ny a que les deux nombres i et j qui, étant moindres de l'unité quun double quarré, fassent un carré de même nature, c'est-k-dire qui

soit moindre de l'unité qu'un double quarré.

6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse natirre et de différente façon de démontrer, j'ai passé à l'invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophanto.

On propose, par exemple,

2 Q 4- 7967 égaux à un quarré.

J'ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est possible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrés que des unités.

( » ) Foir Lettre LXXXIV, 5. Cf. Observ. XUI sur Diophanto.

(*) Voir Lettre XCVÏ, 3, i°.

(*) Cet Écrit, aujourd'hui introuvable, était intitulé Solutio duorum problematum etc., dédié à Kenelni Digby, et commentait comme suit : tn tibi, Vir lUustrissùne, lAiteùa prœhet.... Doux exemplaires en arrivèrent en Hollande, pour Schooton et Huygens, le vî6 octobre 1637. En Angleterre, Brouncker on reçut un seulement on décembre.