FERMAT A BILLY

(Bibliothèque nationale, latin 8Goo, fol. i3, autographe.)

Mon Révérend Père,

Jo suis bien aise que mes solutions vous ayent pieu et je vous romorcie des ologos que vous me donnés, bien que je rccognoisse de bonne foi que vous en usés avec un peu tro|> de profusion. Peustostrc serés vous plus surpris de ce que vous allés lire sur le subjert de vostre nouvelle question que vous énoncés en ces termes :

Treuver trois nombres dont le solide estant osté de chacun dciur et de

( ') Bacon, De dignitate et augmcntis scientiarumy L. VI, cap. a.

( 5) Foir page 35, note x.

( *) Publiée pour la première fois par Libri {Journal des Savants, i83g, p. 548 ».

cil.— 26 AOUT 1659. Wi

chacune de leur différence, et du produict du second par le premier ou par le dernier, ou du quarré du milieu, il s s fasse tousjours un quarré.

3 5 Ces trois nombres sont g> i, g-

Vous adjoustés cnsuitte, après avoir cstendu vostre méthode, que vous ne croyés pas qu'il y aist au monde trois autres nombres qui satisfassent à la question, et vous désirés estre cselairci par moi si vous vous trompés en cette créance.

Je vous respons, mon Père, que cette question reçoit infinies solutions et que la double esgalité à laquelle vous la réduisez :

lAA — A*4-i et lAA — 3A-I-I,

chacun desquels termes doit estre faict égal à un quarré, peut ostro résolue en infinies manière».

Je vous advoue que la méthode dont je me sers pour cela n'est pas dans les livres, et que c'est une de mes inventions qui a quelquesfois estonné les plus grands maistres et particulièrement Monsieur Frenicle, que j'estime très profond dans la cognoissance des nombres. Mais, puisqu'il semble que Diophantc, Viete, Bachet et touts les autres autheurs dont les ouvrages sont venus jusques a moi, n'ont sçu qu'une seule solution en cette nature^de questions, je ne suis point surpris que vous, mon Père, quoyque d'ailleurs très habille par l'adveu de touts les sçavants, n'ayés point tenté d'estendre vostre cognoissance au dessus de celle que donnent les livres.

Vous changerés sans doute d'advis par mon indication, et vous ne croirés pas cette nouvelle descouverte indigne de vostre recherche, principallement lors que je vous asseurerai, comme je fais à l'advance, que ma méthode est generalle et qu'elle sert à résoudre un nombre infini de questions qui ont esté jusqu'ici entièrement abandonnées*

Voici trois nombres différents des vostres qui satisfont à vostre question et qui peust-estre vous donneront l'accès aux solutions infinies.

Le premier de ces trois nombres est f-3zf> le second est i, le troisieme est ?-^-

Je suis de tout mon cœur, Mon Révérend Père, vostre très humble

et très acquis serviteur.

Fermât.

A Tolose, le 7.6 A» 1659.

(Adresse) .• Au reçerend père, le père Billy, de la compagnie de Jésus, à Dijon.

cm.

FERMAT A CARCAVl (*).

< AoiT 1659. >

(Correspondance Huygen»^ n* 699.) (Bibl. Nal. fr. i3oîo, ^ 139.)

... Si la ligne spirale n'est pas égale à la parabolique, elle sera ou plus grande ou plus petite.

Soit premièrement plus grande, s'il est possible, et que l'excès de la spirale sur la parabole soit égal à X, dont la moitié soit Z.

Soient inscrites et circonscrites à la parabole et à la spirale des figures comme en la précédente Ç^), en sorte que la diiïerence entre les inscrites soit moindre que Z, et que la différence entre les circonscrites soit aussi moindre que Z; nous aurons cinq quantités qui vont toujours

( ') Publiée pour la première fois |)ar M. Charles Henry {Recherches, p. 174-170). — C<» fragment, envoyé par Carcavi à Huygens dans une lettre datée du 13 se|)lembre 16J9, est le dévelop|)ement du dernier théorème de VJigalité entre les lignes spirale et parabolique démontrée à la manière des anciens, laquelle fait partie des iMtrcs de A, Dettonvillc (Œuvres de Pascal, V, pp. ^ii à ^')'\). La démonstration de Pascal, beaucoup plus brève, est faite également par l'absurde, mais sans hypothèse sur le sens de l'inégalité entre la .spirale et la parabole.

(*) Fig. 38 des Lettres de Dettonville; voir ci-après fig. 93.

cm. - AOUT 1659. W9

en augmentant, savoir : l'inscrite en la parabole, la parabole, la circonscrite a la parabole, la spirale, et la circonscrite à la spirale.

Car il appert que la seconde, qui est la parabole, surpasse son inscrite et que la circonscrite h la parabole surpasse la parabole.

Or il paroît que la quatrième quantité, qui est la spirale, surpasse aussi la circonscrite à la parabole : car, puisque (*) l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite à la même parabole d'une ligne moindre que Z (ainsi que M. Dettonville l'a démontré), a fortiori la parabole même diffère de la circonscrite de moins que Z. Or, par la supposition, la parabole est moindre que la spirale et la différence est 2Z. Donc, puisque la différence entre la parabole et sa circonscrite est moindre que la différence entre la même parabole et la spirale, la circonscrite à la parabole sera moindre que la spirale.

Laquelle spirale étant aussi moindre que sa circonscrite, il paroit que ces cinq quantités, à commencer par l'inscrite en la parabole, vont toujours en augmentant.

Mais puisque l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite d'une ligne moindre que Z, et que, par la construction, la circonscrite susdite à la parabole ditrere aussi de la circonscrite a la spirale d'une ligne moindre que Z, donc l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite \\ la spirale d'une ligne moindre que 2Z.

Nous avons donc la première et la cinquième de ces cinq quantités, qui sont la plus petite et la plus grande, qui différent entre elles de moins que de 2Z. Donc, a fortiori, la seconde et la quatrième, qui sont la parabole et la spirale, différent d'une ligne moindre que 2Zet par conséquent moindre que X; ce qui est contre la supposition.

Donc la spirale n'est pas plus grande que la parabole.

Qu'elle soit, s'il est possible, moindre que la parabole, et que Texcès soit X ou 2Z. il faut faire les inscriptions et circonscriptions comme en la précédente partie de la démonstration. Nous trouverons ici cinq quantités qui vont toujours en diminuant : la circonscrite à la para-

(1) D'après le corollaire qui, dan» le» Lettres de Dettonville, précède imnvédiatenionl le théorème repris par Fermât.

\kO ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

bole, la parabole, l'inscrite en la parabole» la spirale, et l'inscrite en la spirale.

La première paroit évideniment plus grande que la seconde et la seconde que la troisième.

Or on voit aussi que la troisième, qui est l'inscrite en la parabole, surpasse la spirale : car, puisque, par la démonstration de M. Dettonville, l'excès de la circonscrite à la parabole sur l'inscrite en la parabole est moindre que Z, a /b/tibr* l'excès de la parabole sur son inscrite est moindre que Z.

Or, la parabole étant plus grande que la spirale, et son excès sur la dite spirale étant, par la supposition, 2Z, la parabole surpasse la spirale d'une plus grande quantité que celle dont elle surpasse l'inscrite en la parabole, et, partant, l'inscrite en la parabole est plus grande que la spirale.

Nous avons donc cinq quantités qui vont toujours en diminuant, savoir : la circonscrite à la parabole, la parabole, l'inscrite en la parabole, la spirale, et l'inscrite en la spirale. Or la circonscrite à la parabole diffère de son inscrite de moins que Z, et l'inscrite en la dite parabole diffère aussi, par|la construction, de l'inscrite en la spirale de moins que Z. Donc la circonscrite à la parabole, qui est la première des cinq quantités et la plus grande, diffère de la dernière des dites quantités, qui est la plus petite, d'une ligne moindre que 2Z. Donc, a fortiori, la seconde quantité diffère de la quatrième, c'est-à-dire la parabole de la spirale, de moins que de 2Z, c'est-à-dire de moins que de X : ce qui est centre la supposition.

D'où il résulte que la spirale n'est pas plus petite que la parabole; et partant, puisqu'elle n'est ni plus petite, ni plus grande, elle est égale, ce qu'il etc.