CIV. - SEPTEMBRE 1659. W

rence totale, et l'appliquée RP aussi égale au rayon AB ; la parabole AP du second genre sera égale à la spirale du second genre BCDA.

Si la spirale est cubique, il la faudra comparer avec la parabole quarréquarrée, et faire les f de la circonférence totale égaux à l'axe AR de la parabole quarréquarrée, et l'appliquée RP toujours égale au ravon AB.

La parabole quarréquarrée PQA, du troisième genre, sera égale à la spirale cubique du troisième genre en laquelle comme toute la circonférence à la portion E8B, ^ainsi le cube du rayon AB au cube du rayon AC; et à l'infini, en augmentant toujours chaque numérateur et dénominateur de la fraction, de l'unité :

L*a\e de la parabole ordinaire étant ... | de la circonférence,

L*a\e de la parabole cubique } de la même circonférence,

L*a\e de la parabole quarréquarrée ... |

L'axe de la parabole quarrécubique ... \

Puis } , etc.

D'où il est aisé de conclure qu'il y a des spirales dans cette progression qui sont plus grandes que la circonférence du cercle qui les produit, mais qu'elles sont toujours moindres que la somme de ladite circonférence et du rayon.

Voilà un paradoxe géométrique, sur lequel peut-être M. Dettonvillc et M. de Zulichem n'ont pas encore rêvé. En tout cas, je les supplie de croire que je ne l'ai point de personne, et que ma méthode dont vous avez le chiffre longtemps avant que le Livre de M. Dettonville parût, est la source de beaucoup d'autres belles découvertes sur le sujet des lignes courbes comparées, ou avec des droites, ou avec d'autres lignes courbes de diverse nature. Je vous en dirai peut-être un jour qui vous surprendront.

3. M. de Zulichem désire encore savoir si ma méthode s'étend à trouver la dimension des surfaces courbes des conoîdes et des sphéroïdes. Vous pouvez l'assurer que oui, et qu'elle va encore bien plus loin. Il m'entendra assez lorsque je lui assurerai :

1^ Que je n'ai point vu aucune de ses propositions sur ce sujet;

kkk ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

2® Que la surface du conoïde parabolique autour de l'axe se trouve par la règle et le compas et est un problème plan ;

Que les surfaces des conoïdes hyperboliques et sphéroïdes supposent la quadrature de l'hyperbole et quelques fois de l'ellipse,

Et qu'enfin le conoïde parabolique autour de l'appliquée fait une surface courbe qui suppose, pour être exactement mesurée, la quadrature de l'hyperbole.

Je puis même donner une ligne droite égale à toute portion de parabole donnée, en supposant la quadrature de l'hyperbole, c'est-à-dire de l'espace hyperbolique.

J'ajouterois toutes les constructions de mes propositions, mais le loisir me manque.

FERMAT A CARCAVI («).

{Corresp. Huyg., n» 727.)

... On peut considérer les roulettes allongées ou raccourcies d'une autre manière que n*a fait M. Dettonviile :

Supposez qu'en la roulette ordinaire les seules appliquées soient allongées ou raccourcies proportionnellement, c'est-à-dire que, l'axe demeurant le même, chacune des appliquées est augmentée de la moitié ou bien raccourcie de la moitié, auquel cas il se produit des courbes nouvelles : celles des appliquées allongées sont au dehors de la roulette et celles des appliquées raccourcies sont au dedans.

Je dis que toutes les roulettes allongées en ce sens sont égales à la somme d'une ligne droite et d'une circulaire, et que toutes les roulettes accourcies au même sens sont égales à des courbes paraboliques.

Par exemple, soit une roulette allongée dont les appliquées soient aux appliquées de la roulette naturelle comme le diamètre d'un quarré à son côté, je dis que cette roulette allongée, prise tout entière, c'est-à-dire des deux côtés, et que par la construction vous voyez être plus grande que la naturelle, est égale à la circonférence

(*) Fragment envoyé par Carcavi à Huygens le 6 mars i66o. — Publié pour la première fois par M. Ch. Henry (Pierre de Carcas^j, p. 3i).

du cercle générateur de la roulette naturelle et au double de son diamètre.

Je pourrois ajouter le théorème général pour tous ces cas, c'està-dire pour l'invention des paraboles égales aux roulettes accourcies et pour l'invention de l'agrégé des droites et des circulaires égales aux allongées. Mais ce sera pour une autre ibis. Ma méthode générale ne dépend que du chiffre que je vous envoyai l'année passée, avant que j'eusse vu le Livre de M. Dettonville

FERMAT A CARCAVI (*).

( Corrfsp. Huyg. , n*' 755. )

... 1. Data quadraturà hyperboles, datur circulus aequalis superti ciei curvae paraboles circa applicatam rotatse.

Sit data parabole AD (y?^. qS), cujus axis AE, applicata seu semi

Fig. 95.

basis DE, rectum latus ABC. Quaeritur circulus a^qualis superficiei ciirva* solidi quod ex rotatione figùrae ADE circa applicatam DE tanquam immobilem circumducfae conficitur.

(*) Fragments envoyés par Carcavi à Huygens le 25 juin 1660. — Publiés pour la première fois par M. Ch. Henry {Pierre de Carcavj; p. 33-34).