CXVII. - 1664. W

ce petit Kcril parmi vos papiers inutiles, j'y consens et tout m'est indifférent.

Mais il n'en est pas de même de la très humble prière que je vous lais de me croire, etc.

Démonstration dont il est parlé dans la lettre précédente.

Soit la droite AFM {fig. io5), qui représente la séparation de deux différents milieux; que l'air soit du côté de B et l'eau du côté de H. Le

rayon de lumière, qui doit aller du point B, qui est en l'air, vers le point F, où commence le milieu de l'eau, se rompt et va vers H, s'approchant de la perpendiculaire, suivant les expériences connues el vulgaires.

M. Descartes délermine ce point H en telle sorte, qu'en tirant une perpendiculaire du point B sur la ligne AFM, qui soit BA, il fait que la ligne AF est à la ligne FM comme la résistance d'un des milieux à celle de l'autre, bien qu'il entende, contre mon sens, que la résistance est plus grande dans l'air qu'elle ne l'est dans l'eau.

Soit donc la plus grande résistance représentée par la ligne AF et la moindre par celle de FM, et par conséquent la ligne AF plus grande que FM. Soit élevée, du point M, la perpendiculaire MH qui soit cou-

FiKaiT. 11. 6a

pée en H par le cercle dont le centre est F et le rayon FB, si bien que les droites BF et FH seront égales : Je dis que le rayon BF» venant à se rompre par la rencontre de Teau, ira vers H.

Car, puisque, par mon principe, la nature agit toujours par les voies les plus courtes, si je prouve qu'en passant par les deux droites BF et FH, elle y emploie moins de temps qu'en passant par aucun autre point de la droite AM, j'aurai prouvé la vérité de la proposition.

Or, puisque je présuppose que le mouvement dans Tair est plus aisé et par conséquent 'plus vite, le mouvement de B en F se fera en moins de temps que celui de F à H et, pour régler la véritable proportion, il faut faire

comme AF à FM (qui sont les mesures des résistances), ainsi BF à FD,

et les deux droites DF et FH seront les mesures du temps qui sera employé de B à F et de F à H : savoir, la droite DF sera la mesure du mouvement par BF, qui est plus vite, et la droite FH sera la mesure du mouvement par FH, qui est plus lent, et ce, suivant la proportion de BF à FD, ou de HF, qui est égale à BF, à la même FD.

Si je prouve donc que, quelque point que vous preniez des deux côtés de DF, la somme des deux droites DF, FH est toujours plus petite que deux droites prises au même sens, j'aurai ce que je cherchois.

Soit donc premièrement du côté vers M le point 0. En joignant les droites BO et OH, et faisant

comme BF à DF, ainsi BO à CO,

je dois prouver que la somme des deux droites CO et OH est plus grande que celle de DF et FH; et en prenant de même quelqu'autre point, comme V, de l'autre côté vers A, je dois aussi prouver qu'en joignant les deux droites BV et VH, et faisant

comme BF à DF, ainsi BV à YV,

la somme des deux droites YV et VH est plus grande que celle des deux droites DF et FH.

CXVll. - lff64. 491

Pour y parvenir, Je fais

comme BF ii AF, ainsi FO à FR, Pt

comme la même BF à FM, ainsi FO à FI.

Puisque BF est plus grande que AF, donc FO est plus grande que FR et, puisque AF est plus grande que FM, FR est aussi plus grande que Ff, et il paraît même que

FR esl à FI comme AF à FM; car, puisque, par la construction,

comme AF est à FB, ainsi FR k FO, et

comme FB à FM, ainsi FO à FI,

donc, exœquo,

comme AF à FM, ainsi FR esl à FI.

Je dis donc que les deux droites CO et OH sont plus grandes que les deux droites DF et FH. Car, par Euclide, au triangle amblygone FHO, la somme des deux quarrés HF et FO est égale'à la somme du quarré HO et du rectangle MFO pris deux fois; or. puisque nous avons fait

comme BF ou FH ii FM, ainsi FO à FI,

donc le rectangle sous les extrêmes HFI est égal au rectangle sous les moyennes MFO, et le rectangle HFI pris deux fois est égal au rectangle MFO pris deux fois : nous avons donc la somme des deux quarrés HF et FO égale à la somme du quarré HO et, du rectangle HFI pris deux fois. Mais le rectangle HFI pris deux fois est égal au rectangle HIF pris deux fois et au double quarré de IF; et le quarré HF, par le même Euclide, est égal au rectangle HIF pris deux fois et aux deux quarrés Hl et IF : nous avons donc, d'un côté, le quarré Hl, le quarré IF, le rectangle HIF deux fois pris et le quarré FO égaux au quarré HO, au rectangle HIF deux fois pris et au quarré FI pris deux fois. Otez de part et d'autre le rectangle HIF deux fois et le quarré FI ; reste, d'un côté, le quarré Hl avec le quarré FO égaux aux deux quar-

rés HO et IF. Mais le quarré FO est plus grand que le quarré FI, puisque, par la construction, FO est plus grande que FI : donc le quarré HO est plus grand que le quarré HI, et partant la droite HO est plus grande que la droite HI.

Si je prouve ensuite que la droite CO est plus grande que les deux droites DF et FI, il restera prouvé que les deux GO et OH sont plus grandes que les trois DF, FI et IH, ou que les deux DF et FH : je prouve donc le requis.

Dans le triangle amblygone BFO, par Euclide, le quarré BO est égal à la somme des quarrés BF et FO et au double rectangle AFO ; mais, puisque nous avons fait, par la construction,

comme BF à FA, ainsi FO à FR,

donc le rectangle sous BF et FR est égal au rectangle AFO, et par conséquent le quarré BO est égal aux quarrés BF et FO et au rectangle sous BF, FR deux fois pris. Mais le quarré FO est plus grand que celui de FR, puisque la ligne FO a été prouvée plus grande que la ligne FR : donc, si vous substituez le quarré de FR au lieu de celui de FO, le quarré BO sera plus grand que les deux quarrés BF, FR et le rectangle BFR deux fois pris. Mais ces dernières sommes sont égales, par Euclide, au quarré des deux droites BF et FR prises comme une seule : donc la droite BO est plus grande que la somme des deux droites BF et FR. Mais nous avons prouvé que

KF esl à IF comme AF à FM, c'est à dire comme BF à FI), qui est la mesure de la diversité des mouvements : donc,

comme la somme des deux antécédenls BF et FH est à la somme des deux conséqueiils DF et FI,

ainsi BF à FD.

BO esl à OC comme H F à FD :

donc

comme BO esl à OC,

ainsi la somme des deux droites BF et FR

esl à la somme des deux droites DF et FI.