CXVII

Mais nous avons prouve que la droite BO csl plus grande que la somme des deux droites BF et FR : il est danc vrai que la droite CO est plus grande que la somme des deux droites DFet FI, ce qu'il falloit prouver en second lieu.

Il n'y a donc aucun point du côté de M par où le rayon puisse passer sans y employer plus de temps que par le point F. Il reste à prouver la même chose au point V.

Si l'on fait, comme ci-dessus.

comme BF à FA, ainsi FV à FN, e(

comme la mi^me BF à FM, ainsi FV 3 FX, NF sera à XF comme AF à FM, c"est à dire comme BF à FI),

par la preuve précédente, et chacune de ces deux droites NF et XF sera plus petite que VF, par ce qui a précédé.

Il faut prouver que la somme des deux droites YVetVH est plus grande que la somme des deux droites DF et FH.

Je considère premièrement que, par Euclide, dans le triangle ambly-

gonc VFH, la somme des quarrés HF et FV et du rectangle MFV pris

deux fois est égale au quarré VH ; mais, puisque, par la conslruclion.

il a été fait

comme BF à FM, ainsi FV à FX,

donc le rectangle BFX ou le rectangle HFX (puisque BF et FH sont égales) est égal au rectangle MFV : nous avons donc, d'un coté, la somme des quarrés HF et FV et du rectangle HFX pris deux fois égale au quarré HV. Mais le quarré FX est moindre que le quarré FV : donc la somme des quarrés HF, FX et du rectangle HFX pris deux fois est moindre que le quarré HV. Or cette somme est égale au quarré fait des deux droites HF et FX comme d'une seule, par Euclide : donc la somme des deux droites HF et FX est moindre que HV, et HV est plus grande que ces deux droites HF et FX,

Si je prouve donc que la droite Y V est plus grande que la droite DX, il restera prouvé que la somme des deux YV et HV est plus grande que la somme des trois DX, XF, FH, c'est à dire que des deux DF, FH.

49fc ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

Pour faire cette dernière preuve, je considère le triangle amblygone BYF auquel, par Euclide, les deux quarrés BF et FV sont égaux au quarré BV et au rectangle AFV pris deux fois; or, puisque, par la construction, nous avons fait

comme BF à FA, ainsi VF à FN,

donc le rectangle BFN est égal au rectangle AFV, et partant la somme des deux quarrés BF et FV est égale à la somme du quarré BV et du rectangle BFN pris deux fois. Or le rectangle BFN pris deux fois est égal au rectangle BNF pris deux fois et à deux fois le quarré FN : donc la somme des deux quarrés BF et FV est égale a la somme du quarré BV, du rectangle BNF pris deux fois et du quarré de FN pris deux fois. Or le quarré BF est, par Euclide, égal au quarré BN, au quarré NF et au rectangle BNF pris deux fois : nous avons donc la , somme des quarrés BN, NF, FV et du rectangle BNF pris deux fois égale à la somme du quarré BV, du rectangle ^NF pris deux fois et du quarré de FN pris deux fois. Otez de chaque côté le rectangle BNF pris deux fois et le quarré NF : il restera donc que le quarré de BN et le quarré FV seront égaux aux quarrés BV et FN. Or le quarré FV est plus grand que le quarré de FN, par la construction : donc le quarré BV est plus grand que celui de BN, et partant la droite BV est plus grande que la droite BN.

Mais nous avons prouvé que

comme la droite BF est à FD, ainsi NF est à FX :

donc

comme la clroile BF est à FN, ainsi sera DF à FX,

et, par la conversion des raisons,

comme BF à BN, ainsi sera DF à DX,

comme BF à DF, ainsi BN à DX. Mais nous avons fait

comme BF à DF, ainsi BV à YV:

donc

comme BV à W, ainsi sera BN à DX.

Mais nous avons prouvé que BV est plus grande que BN : donc YV le sera plus que DX.

Or il a été déjà prouvé que VH est plus grande que les deux droites HF et FX : donc il est pleinement prouvé que les deux droites YV et VH sont plus grandes que les trois DX, XF et FH, ou que les deux DF et FH, et ainsi la démonstration est complète.

Il suit de là qu'en posant mon principe, que la nature agit toujours par les voies les plus courtes, la supposition de M. Descartes est fausse, lorsqu'il dit que le mouvement de la lumière se fait plus aisément dans l'eau et les autres corps denses que dans l'air et les autres corps rares.

Car, si cette supposition de M. Descartes étoit vraie et que vous imaginiez qu'en ma figure l'air est du côté de H et l'eau du côté de B, il s'ensuivroit, en transposant la démonstration, que le rayon qui partiroit du point H et rencontreroit l'eau au point F, se romproit vers B, parce que, le mouvement par l'air étant plus lent selon la supposition de M. Descartes, il seroit mesuré par la droite HF, et celui qui se fait dans l'eau seroit mesuré par la droite FD, comme étant plus vite, de sorte que, les deux droites HF, FD étant les plus petites, la réfraction se feroit vers B, c'est-à-dire que le rayon s'écarteroit de la perpendiculaire, ce qui est absurde et contre l'expérience.

Si la situation des deux points B et H change dans les deux lignes BF et FH prolongées de part e( d'autre autant que vous voudrez,, la démonstration aura lieu et vous le verrez de vous-même.

Je n'ajoute point l'analyse, car, outre qu'elle est longue et embarrassée, il vous doit sufTire que le retour que vous, venez de lire est court et purement géométrique.

Il suit de tout cela que, lorsque les deux points B et F sont donnés, ou bien H et F, on peut trouver aisément le problème- par les plans; mais, lorsqu'on donne deux points, comme-B et H, et qu'on veut chercher par eux le point de réfraction dans la ligne ou plan qui sépare les deux milieux, en ce cas le problème est solideret ne se peut construire qu'en y employant des paraboles, des hyperboles ou des ellipses. Mais,

comme cette invention n*est guère malaisée a un géomètre médiocre, en demeurant d'accord du fondement et de la proportion sur laquelle il doit travailler et que je vous ai déjà expliquée» je n*ai garde de douter que vous la trouviez d'abord, vous, Monsieur, qui êtes si fort au-dessus du commun.

Outre que, ne s'agissant proprement, dans la question que vous me faites, que d'apprendre quelles sont les voies de la nature, j'y ai déjà satisfait, et que cette grande ouvrière n'a pas besoin de nos instrumens et de nos machines pour faire ses opérations.