XII. - SEPTEMBRE
ab unitate incipiente, quot sunt unitates in differentia progressionis unitate deminuta, eamque summam duetam iii numerum terminorum.
2*^ Detrahe duplum summae totidem numerorum ab unitate, quot sunt unitates in differentia progressionis unitate deminuta, iiludque ductum in summam numerorum progressionis datae.
His ablatis» reliquum, per diflerentiam progressionis divisum, dabit summam quadratorum ab omnibus.
Ex his duobus casibus reliqui omnes nuilo aut minimo negotio elicientur juxta prsecepta.
10. Sed hic haerere noiuimus, verum problema totius fortasse Arithmetices pulcherrimum construximus, quo non solum in quavis progressione summam quadratorum et cuborum venamuTy sed omnium omniiio potesiatum in infinitum melhodo generalissima* quadratoquadratorum, quadratoeuborum, cuboeuborum, etc.
11. Ut autem innotescat Dom^. de Sainte-Croix sphingem me aut QEdipum non exspectare, en problema in quadratoquadratorum progressu, quod ita potest theorematice enuntiari :
Exponantur quoilibei niuneri in progressione naturali ah uniiaie ; si a quadruplo ultimi, binario aucto <^et ^ in quadraium irianguU numerorum duciOj demas summam quadratorum. a singulis. fiet quintuplum quadraioquadraiorum a singulis.
Exemplum : Expositis numeris
qoadniplum ultimi binario auctum est i8« quod duci débet in i(k>« quadratum trianguli numerorum : fit
i8oo.
Ab eo producto deme summam quadratorum a singulis, quse est
Soperest 1770, cujus quinta pars, 354« sequatur quadratoquadratis a singulis.
In qualibet progressione similiter probloma construemus imitando constructionem praecedentem.
Methodum goneralcm in quibuslibet in infinitumpotestatibustrademus, si visum fuerit aut tibi aut Dom'\ de Sainto-Croix.
12. Intérim addimus propositionem pulcherrimam a nobis inventam, quae nobis lucem dédit ad hujusmodi propositiones invenien-
das(*):
In progressione naturali ultùnus numerus in proxime majorent facit duplum trianguli collateralis, in triangulum numeri proxime majorisfdcit triplumpyramidis coUateraUs, in pyramidem numeri proxime majoris facit quadruplum triangulotrian-
guii coUateraUs, et eâ in injinitiun uniformi methodo.
( » ) roir Tomo I, VObsen*ation XLVI sur Diophante. — II est très remarquable que cette proposition capitale, qui donne, de fait, la composition des coefficients du binôme, après avoir été ainsi communiquée en i636 à Mersenne, à Sainte-Croix et à Roberval {ci-après Lettre XV, 3)» soit restée assez ignorée pour que dix-huit ans après, Pascal, en la retrouvant sous une autre forme, n*ail eu aucun soupçon de la très grande antériorité de la découverte de Fermât.
On lit dans le Traité des ordres numériques (Œuvres «de Biaise Pascal, édition de 1779, t. V, pp. 65-66), après la proposition XI :
« Les manières de tourner une même chose sont infmies : en voici un illustre exemple M et bien glorieux pour moi. Celte môme proposition que je viens de rouler en plusieurs » sortes, est tombée dans la pensée do notre célèbre conseiller de Toulouse, M. de Fer- » mat; et, ce qui est admirable, sans qu'il m'en eût donné la moindre lumière, ni moi à » lui, il écrivoit dans sa province ce que j'invenlois à Paris, heure pour heure, comme » nos lettres écrites et reçues en môme temps le témoignent. Heureux d'avoir concouru » en cette occasion, comme j'ai fait encore en d'autres d'une manière tout à fait étrange, » avec un homme si grand et si admirable, et (jui, dans toutes les recherches de la plus « sublime géométrie, est dans le plus haut degré d'excellence, comme ses ouvrages, que » nos longues prières ont enfin obtenus de lui, le feront bientôt voir à tous les géomètres » de l'Europe, qui les attendent! La manière dont il a pris cette môme proposition est ') telle : »
0 En la progression nature/te qui commence par l'unité, un nombre quelconque étant o mené dans le prochainement plus grand produit le double de son triangle, u
» Le même nombre, étant mené dans le triangle du prochainement plus grand, pro- » duit le triple de sa pyramide. »>
»> Le même nombre, mené dans la pyramide du prochainement plus grand, produit le » quadruple de son triangutotriangulairc. »
M Et ainsi à l* infini, par une méthode générale et uniforme, »
»> Voilà comment on peut varier les énoncialions. »
