XVIII. - 16 DÉCEMBRE
2. Pour ce qui est des nombres et de leurs parties aliquotes ( * ), j'ai trouvé une méthode générale pour soudre toutes les questions par algèbre, de quoi j'ai fait dessein d'écrire un petit Traité. Je crois que vous aurez maintenant vu la construction des deux que j'ai envoyés au Père Mersenne; car il m'écrit qu'il vous les baillera. Toutes ces questions sont très difficiles, comme vous savez, et n'ont été traitées par personne.
3. J'ai été bien aise d'être confirmé par votre lettre en l'opinion que j'avois déjà conçue de M. de < Sainte-Croix >. Il est pourtant vrai qu'il doit avoir grande expérience dans les nombres, car, lui ayant par l'entremise du Père Mersenne proposé une question que personne de ceux à qui je l'avois proposée n'avoit encore pu soudre, il m'a envoyé d'abord les nombres qui satisfont à la question, sans pourtant expliquer sa construction. La question est (*) :
Invenire tria triangula rectangula numéro y quorum areœ constituant tria latera trianguli rectanguli numéro, singulœ nempe areœ singulis lateribus sint œquales.
Je vous avouerai que ce problème me donne beaucoup plus de peine qu'à M. de <C Sainte-Croix >. Il est vrai que les nombres que j'ai trouvés sont différents des siens et que peut-être ai-je tenu un chemin plus difficile, comme vous savez que ces questions ont infinies solutions. Peut-être serez-vous de mon avis, si vous essavez de satisfaire à la proposition.
4. Vous verrez aussi mes spirales ('^, desquelles la démonstration vous sera connue tout aussitôt (car elle est pareille ii celle des nouvelles figures (* ) que j'ai quarrées ou auxquelles j'ai trouvé des cônes
(■) Foir LeUre XV, 4. — Les deux nombres envoyés au Père Mersenne sont les amiables I72(|6 et 18416 ( voir [Va et IVi ).
4 <) Foir Observation XXIX sur Diophante ^Tome I, p. 3a i). (») roir Lettre XV. 6.
< * ) Foir Lettre XIV, 4.
9k ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.
égaux), et vous m'avouerez que ces propositions n'illustrent pas peu ia Géométrie.
Si M. de Boaugrand n'a pas encore trouvé la démonstration de ces questions, vous m'obligerez de lui en faire part.
5. Je lui ai écrit l'invention du centre de gravité de toutes ces nouvelles tigures (*) par une méthode particulière, qui ne suppose point la connoissance de la quadrature, ce qui vous semblera merveilleux jusques k ce que vous l'aurez vu. Il est vrai que je lui ai envoyé l'analyse seulement et non pas la composition que je vous éclaircirai une autre fois, parce qu'elle a ses difficultés et ne paroit pas d'abord par cette voie.
J'ai trouvé le centre de gravité de la parabole sans présupposer la quadrature, comme a fait Archimède, et ainsi on en peut tirer la quadrature par un simple corollaire.
6. Toutes ces propositions, ensemble celles des lieux plans, solides et ad super/iciem, que j'ai achevées, et celles encore des parties aliquotes des nombres, dépendent de la méthode (^) dont M. Despagnet ne vous a pu faire voir qu'un seul cas, parce que, depuis que je n'ai eu l'honneur de le voir, je l'ai beaucoup étendue et changée.
7. Les tangentes des lignes courbes dépendent aussi de là, sur lequel sujet je vous proposerai de trouver une tangente à un point donné en la seconde conchoïde de Nicomède (\).
8. Au reste, je suis bien aise de ce que vous ayez trouvé la démon-
Ci) ro£> Lettre XV, 5.
(«) /o/r Lettre Xm, 3.
(») P^oir Lettre XVH, 2. — La seconde conchoïde de Nicomède (Pappus, éd. Ilultsch.
p. 2<4» l- 19) paraît correspondre à l'équation en coordonnées polaires : p = b, en
supposant h < a. (La troisième et la quatrième répondraient respectivement aux cas : f) = a; ^ > a). Mais Fermai entend probablement ici la conchoïde du cercle. (Comparez Viète, Supplementuni Geometriœ, édition des Elzevirs, page 240.)
