XVIII. - 16 DÉCEMBRE

stration, comme vous dites, de ce que, supposé qu'aux paraboles les segmens (^ de l'axe sont entre eux comme les parallélogrammes aux mêmes paraboles, il sera vrai aussi qu'étant tournées sur leurs axes, les centres des solides seront oii Taxe est divisé en raison comme les cylindres aux solides (^).

Car, par la voie dont j'ai envoyé un exemple a M. de Beaugrand, et que je mettrai au long une autre fois, j'ai trouvé la démonstration (U* l'antécédent et, de celle du conséquent, que vous m'envoierez, s'il vous plait, j'en tirerai la proportion des solides paraboliques à leurs cônes, qu'il seroit malaisé de trouver autrement ('). Car vous trouverez bien la proportion de ceux qui viennent /loi/ quadrata allernatim, comme quarréquarrés, cubocubes etc., de quoi vous baillez l'exempb» au premier; mais in parabolis cubicis, quadratocubicis et sic allernis in infînitum, methodus qua usi sumus non dat proporiionem conoideAn ad conos; ex nostra autem methodo, in omnibus omnino conoidibuM invenimus centrum gravitaiis : ergo^ ex tua propositione, dabitur proportio eorum ad conos.

Je l'attends donc avec impatience, puisqu'elle doit servir à cet usage; si ce n'est que vous ayez trouvé la proportion des conoides cubiques, quadratocubiques, etc. a leurs cônes, ce que votre Lettre semble marquer, auquel cas je vous supplie m'envoyer lesdiles proportions.

Ce n'est pas que je doute de la vérité de votre proposition; mai"^ permettez-moi de vous dire que je me suis défié que vous en euî^'^iez trouvé la démonstration et que j'ai cru seulement que vous en avez fait Texpérience aux conoides paraboliques des quarréquarrés, cubr>-

n» C«l-»-dirç qne k centre ^<> jrnrii^ d*r l'aire il j-dr ^ U ^rtètf^A^: /* - pr «fiTÛe rab-sciâ^ X dan* I*r rapfiort m — i a m.

y» — pz diTfe?e rab-«eL--»e z dan* îe rapport m — 2 a m.

f - » \3^^m «« ptk£«»ze. F^tTEn;*: n a«jraîl alors ^A?JAk b ^nJiAïZUiz^i J xf^dz firy^, On* >

ea» (M At «^ pair.

cubes etc. ahernis. Mais la connoissance que j'ai de votre savoir fait que j'espère que vous me détromperez.

9. Pour ce qui est de la proportion (*) du solide qui se fait sur un diamètre de la parabole parallèle à Taxe, ma construction est différente do la vôtre : il seroit inutile de l'ajouter, puisqu'elles concluent toutes deux.

10. Je me trouve obligé d'ajouter un mot touchant votre proposition méchanique (^), parce que le Père Mersenne m'écrit qu'enfin j'ai acquiescé a votre opinion, ce que pourtant je ne saurois faire par les raisons que vous allez voir, et vous puis assurer que jamais je ne fus mieux confirmé en la propositiofi de mon second levier (') que je le suis maintenant, car, pour celle du premier, il la faut établir par de nouveaux principes, puisque vous avez nié ceux que j'estimois si clairs.

Si votre principe, duquel je vous ai déjà écrit par ma dernière Lettre (*), est vrai, il s'ensuit manifestement qu'un même corps approchant du centre de la terre changera son poids.

In secunda figura (fig. 49) sit vectis CAB, cujus médium A cum centro terrœ N per rectarn AN, ad vectem peroendicularem , iungatur. In

punctis Ça et B pondéra C ^/ B œquaba constituantur et similia , quœ ad centrum per rectas CN, BN annuanl.

(*) Proportion au cylindre ou au cône de même base ol même hauteur, c'est-à-dire cubaturc.

(») ro/> Pièce X VI. (») rbir Pièce V, 2 et 5.

(\) rbi> Lettre XVD, 1.

XyiII. - 16 DECEMBRE 163C. 97

Si rcctœ NC, NB essent ad i^ectem perpendiculares, potentia in X, (vguafis duobus ponderibusB et C^ ex tuo principio deiineret t^ecfem. Sed, quurn angulos NCA, NBA acutos efficiant, aut eadem aul minor aut major potentia requiretur in A ad œqidlibrium.

Si eadem potentia facit œquilibrium, ferum erit principium quo inpnvcedenti ad te epistola usi sumus : quod si fatearis, stalirn vectem noslrum demonstrabimus .

Si major aut minor potentia œquilibrium constituit, ergo, in primo casu, quà minuentur magis anguli rectarum CN, BN cum vecte, co major requiretur ad œquilibrium potentia; in secundo casu, minor. Supra punctum A idem vectis, in eadem direct ion is linea, similiter ponatur, ut in figura; minuentur ( * ) anguli Unearum CN, BN, ut patet : variabà igitur potentia œquilibrii in A constituta, ideoque pondus ex gravibus B et (] compositum, pro diversa a terrœ centro distantia, erit etiam diçersum.

Primam partem dilemmatis quominus fatearis, impedit tua propositio : quippe, hoc dato, corrueret. Fatearis igitur necesse est y aut potentiam in A variare pro diversitate angulorwny aut eamdem semper esse in omni angulorum aculonun positione, sed tamen inœqualem polentiœ quœ detinet potentias ad vectem perpendiculares.

Utrum libet concesseris, manifestissimù, demonstralione detcgùur paralogismus, quem tuœ demonstrationi irrepsisse nec veritas quam quœrimus polit ur dissimulare, nec tu ipse poteris fortasse diffiteri.

11. In prima figura (fi g. jo), quœ est quart a tuœ propositionis (-), his verbis ila construis.

« Soit le centre de la balance A etc. (voir page 79, ligne 10 à page 80, ligne 4) équilibré avec la puissance Esur le bras A(]. »

Ilic vertitur cardo tuœ demonslrationis.

Et primo, si dixeris in omni angulorum acutorum positione eamdem

(1) Le texte semble corrompu, mais ne peut ôlre rétabli sûrement, la figure originale faisant défaut. Si la droite CB est tracée au-dessus du point A {.tupra). les angles C et B augmentent ( augebuntur) au lieu de diminuer. Avec minuentur, il faudrait infra, qui est la leçon la plus probable au lieu de supra, à moins que la 6gure ne fût retournée.

(<) Comparez en effet \^fg' 43, qui est la quatrième de la Lettre XIV.

Fbbbat. — il i3

semper potenliam requiri ad œquilibrium, siatim demonstrabo mecun de vecle propositionem; fateari^ igitur necesse est, variare potentiam proui an guli variant,

Fig. 5o.

Kl

His posais y esta, siplacet, in exposita figura centrwn terrœ N in quod rectœ CE, BD dirigantur, et sint in piuictis E e/ D pondéra seu gravia in proportione datay quod quidem libenim esse tua innuit constructio.

Imo hue tantum abs te tendit ur ut, per potentias imaginarias ab omnibus omnino partibus TzcLpoLXkriktj)^ moi^entes, inveniatur proportio ponderum in vecte quiescente : aliter quippe, quum hujusmodi potentiœ nulliln in rerum natura reperiantur, inutiles prorsus essent.

In punctis H ^^ G construis potentias ponderibus E ^/ D œquales, quœ ab omnibus ipsarum partibus TzoLpoiXkr^'kiii:; moçeant. Potentiam deinde H potentiœ E œqualiter mo^^ere, concludis per primum tuorum axiomatum. quia nempe trahet H potentia per punctum C et rectam HC perpendicularem t^ecti; trahet etiam pondus E per eamdem rectam vecti perpendicularem : quum igitur œquales potentiœ per eamdem rectam et eumdem angulum moveant et circa eamdem a vectis centro distantiamy pondus E et imaginaria H potentia œqualiter trahunt.

Idy verisimile quum sity veritatem intimam quœrenlibus non potest non xnderi falsissimum. Pondus in E sit sphœricumy verbi gratia; omnes omnino ipsius partes ad cent rum N tendunt per rectas in eodem N centro concurrentes et vectem AC, si continuentury ad angulos acutos sécantes : ergo potentiœ y abs C utrimque œqualiter remotœy intelligentur vectem ad angulos acutos suis motibus sécantes. Contra, quum partes omnes potentiœ H T:apaXX*)f]X(oç moveanty intelligentur potentiœ, abs C utrimque œqualiter remotœ, ad angulos rectos vectem suis motibus sécantes.