XVIIJ. ~ FEVRIER

Quum igitur parles omnes potentiœ H simul sumplœ œquentur partihiis omnibus polentiœ seu ponderis E simul sumptis {iota enim potenlia H toù ponderi E œquatur), patet, exjam traditis, potentiarum H, E m punctis H et E inœqualem esse motion; quod igitur de potenlia H concludit démonstration perperam ad pondus E porrigit.

il. S'il me restoit du temps ou du papier, j'ajouterois, suivant votre désir, la démonstration des cônes isopérimètres (*). Ce sera une autre fois, me réservant encore de vous écrire quelque chose de plus recherché sur les Méchaniques, à la charge que vous m'obligerez de croire que je n'aurois garde de m'opiniâtrer après une proposition, si je ne la croyois véritable, et que je la quitterai un moment après que de nouvelles raisons l'emporteront sur les miennes.

Je suis etc.

(») Voir Lettres XIV, 11 et XV, 8.

Xl\.

FERMAT A ROBERVAL

Monsieur,

1. Je trouve assez de loisir pour vous envoyer encore la construction (lu lieu plan : Si a quotcumque etc. (*), que je tiens une des plus belles propositions de la Géométrie, et je crois que vous serez de mon avis.

Sinl dalaquoUibet piincta, quinque tierbi f;ratia. A, G, F, H, M (iîg. 5i)

Fig. T)!.

(nam |)ropositio est gcneralis), quœritur circuliis ad cujiis circumfereu' liam in quolibet puncto injleclendo rectos a datis punctis, quadrata omnium sint œqualia spatio dato.

( ') J'oir Tome 1, p. 3;, la proposition V (la Livre II dos Lieu-r. plans cV Apollon iun. — Cp. LeUro Xïll, 7. — La présente semble n'être (fu'un fragment d'une Lettre perdue.

Jungantur puncta quaevis A et E per rectam AK, in quam ab aliis punctis datis cadant perpendiculares GB, HD, FC. Omnium rcctarum, punctis datis vel occursu perpendicularium etpuncto A terminatarum, sumatur pars conditionaria, quintans, vcrbi gratia, in hac specio; quintans ergo rectarum AB, AC, AD, AE simul sumptarum esto AO, et apuncto 0 excitetur perpendicularis infinita ON, a qua rosocetur 01 pars conditionaria (quintans nempe pro numéro punctorum datorum) perpendicularium GB, FC, HD, et intelligantur jungi recta; AI, GI, FI, HI, El. Quadrata istarum quinque erunt minora spatio dato : demantur igitur a spatio dato et supersit, verbi gratia, Z planum, cujus quintans (pars nempe conditionaria) sumatur et in quadratum M redigatur. Girculus, centro I, intervallo M descriptus satisfaciet proposito : hor est, quodcumque punctum sumpseris in ipsius circumferentia, rectarum a datis punctis ad illud punctum ductarum quadrata erunt aujualia spatio dato.

Adderem demonstrationem, sed longa sane est, et malim vestrum amborum sollicitare genium ad eam inveniendam.

2. Non solum autem bas propositiones, sed omnes omnino de Incin planis absolvi, imo locos quamplurimos adinveni, de quibus nibil scripserat Apollonius, qui tamen sunt pulcherrimi, verbi gratia (* ) :

Doits tribus punctis in recta A, B, C ( fig. 52), invenire circuU circum-

ferentiam^ in qua swnendo quodlibet punctum, ut N, quadrata AN, NB sapèrent quadratum N(> spatio dato.

(I ; Voir Toanti I. p. 3f . la ^eeoode addition de Fermât à la propoftitioo I du Livre fl de» LieaJT ptant.

De locis solidis et ad superficiem multa quoque jam sunt détecta.

Casus loci plani superioris, non addo, nam patebunt statim. — Si puncta data sint tantum tria et constituant triangulvan, centrum circuli localis erit centrum gravitatis iliius trianguii, et haîc proposîtio singularis satis est mira.

3. Scd hîc non inoror. Propositionem univcrsaiissimam ita constituo ot jam construxi (*) :

Si a datis quotlibet punctis inflectantur rectœ^ et exponantur omnium species in data proportione crescentes aut déficientes, erunt species ita auctœ aut deminutœ dato spatio œquales.

Kxempium : Sint data tria puncta ia superiori figura A, B, G» et quaTendus circulus in cujus circumferentia sumendo quodlibet punctum, ut N, quadrati NA dimidium, verbi gratia, quadrati BN duplum rt quadrati CN triplum simui juncta conticiunt spatium datum, et demonstratio ad quamlibet proportionem et quotlibet puncta porrigenda.

Hanc propositionem, pulcherrimam sahe, videtur non vidisse Apollonius.

ROBERVAL A FERMAT

SAMEDI k AVRIL 1637.

MoNSiEi:n,

1. Quoique j'eusse reçu dès lundi dernier votre démonstration du li(Mi plan (^), néanmoins mes occupations, tant publiques que parti-

y^) Généralisation do la proposition V du Livre H des Lieux plans. f «) Foir Lettre XIX, 1. -- Roberval, dans une Lettre perdue, avait demandé la démonstration de l'énoncé donné par Fermât.