II. — MAI

Haec autem propositio probatu est facillima, vestigiis Archimedis (* ) insistendo, et, si negetur, statim demonstrabitur.

2. Hoc supposito, propositionem sane mirabilem indc deducimus : Ponattir graçe in puncto N (fig. 2) intcr puncta A e/ B, etjiat

ut AB ad BN, i ta pondus N ad potentiam 11 :

A io pondus N, juncto ctxe AN, a potenlia R in puncto A coUocata de.ti-

Fig a.

->ii

nen c/, « minimum augeatur potentia R, sursum tolli, ideoque quo propius pondus accedit ad centrum Terrœ, minorcm potentiam ad tollendum illud requiri.

Haec est, ni fallor, propositio quam Beaugrandus (^) in sua Goostatica demonstrat; nos eam hac ratione, quae sequitur, demonstramus.

dans une lettre perdue, où il le priait sans doute de la communiquer à Mersenne. Fermât l'avait composée avant d'avoir pris connaissance de la Géostatique de Beaugrand, par conséquent avant la lettre suivante, du 3 juin i636 {voir ci-après III, 5).

Mersenne en a inséré dans son Harmonie universelle une traduction assez Gdèle, que nous reproduisons ci-après (IIa)* Elle permet de constater une confusion dans les rnritt, où les trois premiers articles sont rattachés à la pièce V ci-après, et où le titre du morceau est inséré après l'énoncé même de la proposition, c'est-à-dire avant l'article 3 : Suppoxitis et concessis etc.

(*) Si l'on compare la marche que suit Archimède (De planorum œquilibriis, I) pour démontrer le principe d'équilibre de la balance, on reconnaît que Fermât admet en fait comme postulats :

1** Que la direction de la gravité passe constamment par un point déterminé hors du corps pesant, à savoir par le centre de la Terre ;

u** Que le point d'application de la gravité (au moins pour un corps sphériquo homogène) est un point déterminé de la Ggure du corps pesant;

3*" Que l'effet statique de la gravité, pour un corps déterminé, dépond uniquement de la distance de son centre de gravité au centre de la Terre.

Fermât ne suppose pas d'ailleurs que la gravité s'exerce en dehors de la sphère terrestre; dans ces limites, ses postulats concordent avec l'hypothèse newtonienne, si l'on considère la gravité comme la résultante de l'attraction d'une sphère composée de couches concentriques et homogènes sur un point matériel situé à son intérieur.

(*) Voir la Lettre I, 7. La Géostatique de Beaugrand a pour objet de démontrer que la gravité (supposée seulement à l'intérieur de la sphère terrestre) varie, pour un même

3. Suppositis et concessis quibus in dcmonstralione ulimur, ex praeccdente propositione et ex communibus notionibus desumptis, sU rontrum Terrae C {fig^ 3), semidiamoter CA in qua sumatur punctum

Fig. 3.

B. In puncto autcm B sit quodvis grave appensum; fiât autem

ut recta CA ad reclam CB, ita pondus in B appensum ad potentiam aliquam, ut R.

Aio grave B a potentia Rin puncto A sustineri et, si augoatur quantumlibot potentia R, pondus B ab hujusmodi aucta potentia in punclo A collocala sursum nioveri.

Producatur enim AC in D, et sit CD aequalis CB, et in D collocetur pondus ponderi B aequale. Corporis igitur ex duobus gravibus B et D compositi centrum gravi latis est C, ideoque, si a puncto A auferalur

corps, proportionnellomont à la distance de son centre de gravité au centre do la Terro. (Vcst donc, en fait, la même thèse que celle de Fermât, quoique ce dernier établisse une distinction assez subtile {voir ci-après Lettre IV, i). Mais la démonstration de Beaugrand est absolument manquée comme fond et comme forme, et elle donnera lieu, dans la cori*espondance entre Mersenno et Descartes, à de fréquentes railleries de ce dernier contre le geostaiicien.

Cette démonstration revient en fait à admettre que, si un corps pesant est suspendu par un 61 sans gravité à l'extrémité d'un levier parallèle à Thorizon et maintenu d ailleurs on équilibre, cet équilibre ne sera jamais détruit, quand même on allongerait, autant (]ue Ton voudra, le fd de suspension supposé dirigé vers le centre de la Terre.

L'erreur d'une pareille thèse est aisée à reconnaître; mais il convient d'observer qu'à la date où nous sommes, les principes de la Statique ne sont nullement établis ; on est môme à peine d'accord sur les conditions d'équilibre du levier actionné par des forces parallèles, car la ({uestion qui s'agite est précisément de savoir si les postulats d'origine expérimentale sur lesquels repose la théorie d'Archimède sont vrais en prenant les forces de gravité concourantes, ainsi qu'elles le sont en réalité, ou en les supposant parallèles, avec le géomètre de Syracuse. Beaugrand admet la première alternative jusque dans ses conséquences évidemment erronées ; Format suit la même voie, mais avec une prudence très caractéristique. Roberval défendra l'hypothèse d'Archimède (ci-après Lettres Vill, XIV) ; mais Galilée et Castelli, quoique déjà en possession, comme Roberval, du principe de l'équilibre du levier actionné par des forces concourantes, n'en ont pas moins pris en sérieuse considération les conclusions de Beaugrand et les propositions de Fermât (voir ciaprès, Pièce V, note 6).

polentia R, quum recta BA nihil ponderet, criint pondéra B ol D in «quilibrio et manebunt.

Si autem in A collocctur pondus deorsum tendens, potentiae R sursum movenli aequale, idem est ac si a puncto A dematur polentia R ; nam, quantum potentia tollit, tantumdem pondus deprimit. Collocetur igitur hujusmodi pondus in A : corpus igitur compositum ex potentia R collocata in A et sursum movente, ex pondère A deorsum tendento et ex gravibus B et D, erit in aequilibrio aut, si mavis, non movebitur.

Quum autem grave D sit aîquale gravi B, et recta CD rectae CB, erit

ut AC atl Cl), ila AC ad CB, et

ut pondus B ad polentiam R iii A collocatam,

ila pondus D ad pondus in A deorsum tcndens,

quod ipsi R potentiae aequale posuimus. Est autem, ex hypothesi,

ut recta AC ad CB, ita pondus B ad potcntiam R in A collocatam :

erit igilur

ut AC ad CD, ita pondus D ad pondus in A deorsum tcndens.

Quum igitur distantia» ponderibus sint reciprocc proportionales, pondus in A deorsum tendens ponderi D aequiponderabit; si vero ab œquiponderantibus aequiponderantia auferantur, reliqua a^quiponderabunt : ergo, si ab aequilibrio ex potentia R in A collocata et sursum movente, ex pondère in A deorsum tendente et ponderibus B et D composito, auferatur a*quilibrium ex ponderibus A et D compositum, reliqua aequiponderabunt aut potius non movebuntur.

Auferantur igitur pondus A et pondus D; remanebit potentia R, in A collocata, et pondus B, quod proinde potentia R detinebit, ideoque, si minimâ augeatur vi, sursum tollit. Quod erat demonstrandum.

Fkrmat. — n.

IIa.

Mkrsenne, Seconde Partie de l'Harmonie Universelle (iG'i7), livre VIII : De rutilité do l'Harmonie, prop. xviii, pages Gi et suiv. ( ').

. . . Or, puisque Monsieur Fermai, Conseiller au Parlement de Tholoso ol très-excellenl Géomètre, m'a donné le raisonnement qu'il a fait sur les différentes pesanteurs des poids, suivant qu'ils approchent davantage du centre..., je veux faire part au public de ses pensées sur ce sujet.

Soit donc le centre de la Terre dans la ligne droite \C {fig- i), au point H;

Fig. 1.

le demi-diamètre BA; et BC soit une portion de Fatitre demi-diamètre. Et que le poids attaché au point C soit au poids attaché au point A comme AB à BC : je dis que les poids A, C seront en équilibre. Ceci étant posé, il en déduit la conclusion précédente, à savoir que la pesanteur d'un corps est

d'autant moindre qu'il s'approche davantage du centre de la Terre Je

mets ici le raisonnement entier de Monsieur Fermât. Soit donc mis le poids entre A et B au point N (fig, 2); et comme A<1>>

Fig. 3.

est à BN, ainsi soit le poids N à la puissance U : je dis que le poids N, joint à A par la ligne NA ('), est détenu par la puissance R mise au point A, et qtie si l'on augmente tant soit peu la puissance U, elle l'enlèvera; par consé- (|uent, il faut une puissance d'autant moindre pour l'enlever, qu'il approche davantage du centre de la Terre.

Ce qu'il démontre en cette façon : Que C {fig. 3) soit le centre de la Terre,

Fig. 3.

le demi-diamètre CA, auquel soit pris le point B, dans lequel le poids attaché soit à la puissance R comme AC à CB : je dis que le poids B est soutenu par

(*) Foir la note si de la page 6, second alinéa. (*) joint à BA par la ligne BA Mersennc.