III.:- 3 JUIN 1636. il
la imissance B mise en \, laquelle l'enlèvera, pour peu qu'on l'augmeiilo. Car soit prolongé AC jusques k D, et que Cl) soit égal à CB, el que l'on mellc lin poids en D égal au poids B, C sera le centre de pesanteur du corps composé des deux poids B et D; c'est pourquoi, si du point A l'on dte la puissance R, les poids B et D demeureront en équilibre, puisque la ligne BA ne pèse point. Et si l'on met le poids en A qui tende en bas, égal à la puissance B qui tend en haut, l'on Tait la même chose que si du point A l'on ôloil la puissance R, puisque le poids abaisse auiant comme la puissanceenlëve.
Que ce poids soit donc mis en A; donc le coips composé de la puissance B po^ée en A et tendant en haut, du poids A tendant en bas, et des poids It et I>, demeurera en équilibre. Or puisque le poids D est égal au poids B, ei que la ligne CD est égale à la ligne CB, AC est à CB comme AC à CD ; et comme le poids B est à la puissance B mise en A, ainsi le poids D au poids mis en A qui (end en bas (lequel on suppose égal h la puissance K). Or, comme AC esl à CB, ainsi le poids B à la puissance B posée en A; donc, comme AC à CD, ainsi le poids D au poids mis en A. El par conséquent le poids mis en A sera en équilibre avec le poids D, puisque les distances sont en proportion réciproque des poids. Mais si l'on âte des poids qui sont équilibres, d'autres poids qui sont aussi en équilibre, ceux qui resteront demeureront aussi eu équilibre; donc si, de l'équilibre fait de la puissance B mise en A el tendant en haul, du poids mis en A tendant en bas, el des poids B et D, l'on ôte l'équilibre Cait des poids A et I>, les poids qui resteront demeureront en équilibre.
Soient donc ôtés les poids A et D, la puissance R mise en A et le poids It demeureront en équilibre, et pailant, pour peu que l'on augmente la puissance B, elle enlèvera le poids B : ce qu'il falloit démontrer.
FERMAT A MERSENNE
MABDI 3 JCIK l636.
Mo.\ KÉVÉREiNII PËItC,
1. J'ai FL'^^u votre lottrc avec satisfaction, (juisqu'olle contionl des remart|ues «( dt's oxpérienci'S très singulières : j'en forai l'estime qtio je dois el de tout ce qui me viendra de voire part.
2. Je n'ai point vu de livre de musique plus nouveau de vous que celui que vous appelez QuesUons harmoniques, que j'ai, relié avec un autre recueil de Questions et les Méchaniques de Galilaei (*).
3. Si la démonstration de la proposition de l'hélice (^) n'étoit pas de grand discours et de grande recherche, je vous l'envoierois présen-
( > ) Il a paru, en i634, deux Volumes différents de Questions du P. Mersenne, tous deux polit in-octavo.
Le premier — A Paris, chez laques Killery, rue C lopin à l'Escu de France, et au coin
de la rue Dauphine aux trois Perruques, M.DC.XXXllIl. Avec Privilège du Boy, —
Il Sans nom d'auteur (le privilège, du 14 août 1629, est délivré au R. P. M. R. M. ; l'achevé
d'imprimer est du i" décembre i633) — contient (Bibl. Nat. Imprimés V 2141, Inventaire V 19294/5) : 4 A Il a) Questions inouyes, ou Récréation des scavans. Qui contiennent beaucoup de choses I concernantes la Théorie (Théologie?), la Philosophie, et les Mathématiques (180 pages);
h) Questions harmoniques. Dans lesquelles sont contenues plusieurs choses remarquables pour la Physique, pour la Morale, et pour les autres Sciences (276 pages).
Le second — A Paris, chez Henry Guenon, rue Sainct lacques, prés les Jacobins, à l'image Smnct Bernard M. DC, XX XIV. Avec Privilège et Approbation. — (Privilège d'août 1G34, épitres dédicatoires signées de Mersenne) — renferme (Bibl. Nat. Imprimés V 2675, Inventaire V 25 1 50/1/2) :
c) Les Questions Theologiques, Physiques, Morales et Mathématiques. Ou chacun trouvera du contentement ou de l'exercice, Composées par L. P. M. (240 pages);
d) Les Méchaniques de Galilée Mathématicien et Ingénieur du Duc de Florence, Avec Plusieurs Additions rares et nouvelles, utiles aux Architectes, Ingénieurs, Fonteniers, Philosophes et Artisans. Traduites do l'Italien par L. P. M. M. (88 pages);
e) Les Préludes de l'Harmonie Universelle, ou Questions Curieuses, Utiles aux Prédicateurs, aux Théologiens, aux Astrologues, aux Médecins et aux Philosophes. Composées par L. P. M. M. (224 pages).
C'est évidemment ce second volume que possède Fermât et c'est le dernier recueil {e) qu'il désigne improprement sous le titre de Questions harmoniques.
(*) Foir Lettre I, 9. — L'envoi promis ici par Fermât ne se retrouve pas dans ses Lettres à Mersenne, mais il fut fait avant le 4 novembre i636 {voir Lettre XV, 6), et d'autre part, en rapprochant les extraits ci-après IIIa et IUb des Œuvres de Mersenne, on reconnaît aisément que ce dm'nier nous a conservé, dans le second de ces extraits, une partie du travail de Fermât, suffisante pour que l'on puisse en apprécier toute l'importance. On peut constater également que l'hélice dont parie Fermât dans ses Lettres l, 9, et lU, 3 n'est autre que celle qu'il désigne sous le nom à' hélix Galilei (et non Balianiy fausse leçon de Bossu t) dans la Solution du problème proposé par Etienne Pascal (Tomel, pages 73-74), pièce dont la date semble devoir être assignée en janvier ou février 1637. Cette spirale de Galilée, nom probablement donné par Mersenne, peut être définie la courbe décrite, relativement à la Terre supposée animée du mouvement de rotation diurne, par un point matériel pesant tombant librement suivant la loi de Galilée. Le problème de cette trajectoire préoccupait particulièrement le savant Minime et, dès sa première lettre à Fermât, il avait dû lui demander ses lumières sur celte question. — Il no parait pas douteux que l'écrit perdu ait été rédigé en latin.
m. - 3 JUIN 1636. 13
tement; mais elle contiendra autant que deux des plus grands Trailés d'Archimède, de sorte que je vous demande un peu de loisir pour cela et cependant vous la pouvez tenir pour très véritable.
4. J'en dresserai un Traité exprès, où je vous ferai voir de nouvelles hélices aussi admirables qu'on en puisse imaginer; pour vous en donner l'avant-goùt, en voici une, qui est peut-être cette ligne qiw Ménélaûs appelle admirable dans le Pappus (M.
Eslo helijc AMB (fi g. 4) '^ circulo CNB, cujus ea sit proprietas ut, duclâ qualibet recta, verbi gratia AMN, tola circuli circumferentia sit
Fig. 4.
ad ejusdem circumferentiœ porlionem NCB /// AB quadratum ad quadratum AM.
In hoc autem hœc hélix differt ab hélice Archimedis quod, in hélice Archimedis, sit ut circumferentia ad portionem NCB, ita AB ad AM.
Pronunciamus : primo, spatium sub hélice et recta AB comprehensum esse dimidium totius circuli; deinde (quœ est proprie tas mirabilis), spatium ex prima reçolutione ortum (quod hîc sit N) (fig. j) esse dimidium
Ig. D.
spatii M ex secunda rei^olutione orti; spatium vero C ex tertia reçolutione
(» ) PappuK, IV, 36, édition Hultsch, page 270, 26. - La supposition de Fermât est très peu probable.
ml*
orium esse œquale spatio M, et omnia omnino deinceps spatia ex qualibet rei'olutione orta dicto spatio M similiter esse œqualia, ideoque et inter se,
J(» (Tois quo vous m'avouerez que ces recherches sont belles, mais j'ai si peu de commodité d'en écrire les démonstrations qui sont des |)lus malaisées et des plus embarrassées de la Géométrie, que je me contente d'avoir découvert la vérité et de savoir le moyen de la prouv(»r lorsque j'aurai le loisir de le faire. Si je puis trouver quelque occasion d'aller passer trois ou quatre mois à Paris, je les emploierai à mc^tfre par écrit toutes mes nouvelles pensées en ces arts, à quoi je pourrai sans doute être beaucoup aidé de vos soins.
5. J'ai vu la Géostatique de M. de Beauf^rand (*) et me suis étonné d'abord d'avoir trouvé ma pensée diffénmte de» la sienne»; j'estime que vous l'aurez déjà remarqué. Je lui envoie franchement mon avis sur son livre, vous assurant que j'estime si fort son esprit (»t qu'il m'en a donné de si grandes preuves, que j'ai peine a me persuader qu'ayant entrepris une opinion contraire k la sienne, je» ne me sois éloigné de la vérité; j(» consens pourtant qu'il soit mon juge (»t ne vous récuse» pas non plus. Et parce que j'ai écrit a la hâte la démonstration que je vous envoyai et l'écrit que je lui envoie (/*), je mettrai tout au net à loisir et tâcherai même de trouv(»r de nouvelles raisons pour soutenir mon opinion, à laquelle pourtant je ne m'attacherai jamais par opiniâtreté dès qu'il me fera connoître le contraire.
Je suis et(\
(M loir Lettres î, 7, U, 2.
(*) Écrit do Format perdu, comme toute sa correspondance avec Beaugrand. — La démonstration envoyée à Mersonne n'est autre que la pièce précédente, U, ou peut-être la rédaction en français do la môme picce, Ha- Cependant on no peut conclure du langaj^e de Format que l'envoi a été fait directement à Mersenne et que, par suite, il y aurait «mi une lettre perdue intermédiaire entre I et HI {voir Pièce II, note a de la page 6).
111a et 111b. — 3 JUIN 1636. lï
nu.
Mersenne, Seconde Partie de l'Harmonie UniverxcUe (if)57), Nouvelles Observations
Physiques et Mathématiques. Première Obs. page 2 :
La seconde chose qu*il est à propos de remarquer appartient à la deniie circonférence dont je parle au nnème lieu (*) : car, outre ce que j'ai niontré de la ligne hélice, par laquelle les poids descendent suivant Timaglnation de Galilée, un excellent Géomètre a démontré les propriétés de cette hélice, laquelle lui pourra servir d'occasion pour restituer le livre de Démétrius, îrepl Ypau.|xixajv sTridràdsoiv, dont Pappus (') a parlé dans le 4» !• de ses Collections. Je dirai seulement qu*il y remarque (') une raison perpétuelle de if) à 8 : ceux qui en voudront savoir un plus grand nombre de particularités, les peuvent espérer de cet excellent personnage. Il a trouvé plusieurs autres nouvelles hélices, dont l'une est peut-être l'admirable de Ménélaùs (*), do laquelle le premier espace fait par la première révolution est sous double de celui de la seconde; et néanmoins tous les autres espaces suivans produits par les autres révolutions sont égaux à celui de la seconde révolution et par conséquent égaux entre eux. Je laisse les autres propriétés, dont il donnera la démonstration quand il lui plaira.
Illn.
Mersenn'E, Cogitata Pliysico-mnthematica (i()4î) — Ballistica, page 5-.
1. Cùm (ialilaeus existimare videretur lapidem (positû terra mobili et solis motum supplentc) usque ad terrae centrum descendentem moveri per semi-
circumferentiam de quà superius (*) dictum est, demonstravit acutis-
simus Geometra 1). Fermatius non esse descensum illum semicircularem, sed helicem describere peculiai*em, quîE sit secunda inter sequentes, quemadmodum prima est Archimedea.
(*) Livre II du Mouvement des Corps, prop. m, pages 98 et suiv. — Galilée avait dit (Massimi SUtemi, i632, p. i56 suiv.) qu'il était probable qu'un corps, tombant sans empêchement jusqu'au centre de la terre, décrirait, en tenant compte du mouvement de la terre, une demi-circonférence. Mersenne réfutait cette opinion.
P) Pappus, IV, 36, édition Hultsch, page 270, 20.
(5) Foir ci-après la pièce IIIb, 2.
(*) Toir Lettre m, 4.
(») Page 5o des Ballistica de Mersenne.
ŒUVKES DE FEIIMAT. - CORRESPONDANCE.
2. Sil igiliir hclix AFB {ff^. 6) intra circulum BCX descripta, ila ni sempor sil cadem lalio circumferenliae BCX ad arcum BC, quae est liiicîe AB ad FC, vol quadrati AB ad quadratum FC, vel eubi AB ad cuhiim FC, vel ciijiisciimque ailerius poleslalis (^) AB ad similem potestatem FC, régula generalis
Fig. 6.
datur, quû ratio circuli BCX ad spatium lineâ AB et helicibus AFB comprehcnsum reperialur (').
Hîc appono oclo hélices quarum majores numeri circulum, minores hclicem referunl :
'Ji>
3. Quibus placet addere demonslrationem amici ('), qui demonslravil lincam descensûs gravium non esse circularem , sufRciat annotasse
( * ) Polentiaî Merxenne,
(>) Mersennc a fait ici quelque confusion; les spirales qu'il vient de définir ont pour équation polaire
colles auxquelles se rapportent les nombres qui suivent et dans lesquelles doit d'ailleurs
figurer comme seconde {n = 2) la trajectoire étudiée par Fermât, ont, au contraire, pour
équation
R — p /wy
de
Fermât a sans doute considéré les deux classes ; pour la seconde, le rapport de Faire
la spirale l p' — > au secteur de cercle correspondant , est — >
formule dans laquelle rentrent les nombres donnés par Mersennc.
( ') La démonstration qui suit (en partie seulement) dans le texte do Mersenne ne peut étro attribuée à Fermât.
