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(juiUbel qiiœstionis terminus esse A (*), ce qui ne se pc'ut mieux fain» qu'en menant BC perpendiculaire sur DN et prenant A pour CD.
Et ùwentâ maximâ etc. Pour trouver donc cette maxiinam. a savoir BE, puisque DC est A et DN est C, le quarré de BC est
A in C — Afjtiad.f
et puisque DC est .4 et DE est B, le quarré de CE est
A q, -H Bf/, 4- A in B bis,
lequel joint au quarré de BC fait le quarré de la plus grande BE, qui
est
A in C -h Bq. H- A in B bis.
Ponatur rursiis idem qui prias terminus esse A -t- E^ Uerumque inveniatur maxima, ce qui ne se peut faire autrement, en suite de ce qui a précédé, qu'en posant ^ -h il? pour DC. Et lors le quarré de B(' est
C in A -h C in E ^ Aq. — A in E bis — Eq. ;
puis le quarré de CE est
Aq, -+- A in E hïs -^ Eq. -+- Bq. -+- i in /y bis -h Eux /?bis, lequel, étant joint à l'autre, fait
A in 6' -h ^in C-h Bq. -+- A in ^ bis -h Em B bis
pour le quarré de la plus grande BE.
Adœquentur. c'est-à-dire qu'il faut poser
.1 mC+Bq.^A in ^ bis égala .1 i\\C-¥E\nC-{'Bq.-\-A in /^ bis -h /fin /y bis.
Et demptis œqualibus (^), il reste
E in C -f- E in B bis égal à ri<Mi,
ce qui montre manifestement l'erreur de la règle.
5. Et afin qu'il ne puisse plus y avoir personne si aveugle (ju'il ne
(»/ Descaries reprend successivement, comme dans la Lcltre XXV, les différentes phrases du texte de la règle donnée par Fermai (Tome I, page i33). (*) Fermai avait dit commiuiibus (Tome I, p. i33, ligne 3 en remonlant).
la voie, je dirai ici en quelle sorte on la peut corriger. Car, bien que j'en aie touché un mot en ce que j*ai écrit à M. Mydorge (*), il y est néanmoins en telle façon que je ne désirois pas encore que tout le monde le pût entendre.
Premièrement donc à ces mots et inventa maximâ, il est bon d'ajouter velaliâ quâlibet cujus ope possit postea maxima ins^eniri. Car souvent, en cherchant ainsi la plus grande, on s'engage en beaucoup de calculs superflus.
Toutefois cela n'est pas un point essentiel; mais le principal et celui qui est le fondement de toute la règle est omis en l'endroit où sont ces mots : Adœquentur duo homogenea maximœ aut minimœ œqualia, lesquels ne signifient autre chose sinon que la somme qui explique rnaximam in terminis sub A gradu ut libet involutis, doit être supposée égale à celle qui l'explique in terminis sub A et E gradibus ul libet coefficientibus.
Et vous demanderez, s'il vous plaît, k ceux qui la soutiennent, si ce n'est pas ainsi qu'ils l'entendent, avant que de les avertir de ce qui doit y être ajouté : à savoir, au lieu de dire simplement adœquentur, il falloit dire : adœquentur tali modo, ul quantitas per istam œquationem inçenienda sit quidem una, cùm ad maximum aut minimum refertur, sed una emergens ex duabus quœ per eamdem œquationem possent inveniri essenlque inœquales, si ad minorem maxima vel ad majorem minimà re/errcntur C^).
6. Ainsi, en l'exemple que je viens de donner, ce n'est pas assez de chercher le quarré de la plus grande en deux façons; mais outre cela, il faut dire :
comme ce quarré, lorsqu'il est ^ in C -f- Bq. -h Ain B bis,
est au môme quarré, lorsqu'il esty4inCH-^in6'-h^7.4-/4in^bis-h£'in/^bis,
ainsi Cm A — iq., qui est le quarré de BC,
est à Cm A -+- Cin E — Aq.— A in ^'bis — -fi*^., qui est aussi le même quarré.
(») Lettres de Descartes, éd. Clerselicr, HI, 07, page 3o6.
(*) Descartes essaye de ramener la méthode de Fermât à la sienne propre, c'est-à-dire à la recherche de la condition sous laquelle deux racines d'une équation deviennent égales.
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Puis multipliant le premier de ces quarrés par le quatrième, on le doit supposer égal au second multiplié par le troisième, et après, en démêlant cette équation suivant la règle, on trouve son compte, à savoir que
CD est jTû-' 7^> comme il doit être.
7. Tout de même, en l'exemple de la parabole qui avoit été pris par M. F., et que j'avois suivi en mon premier Écrit (*), voici comme il faut opérer :
Soit BDN {Jîg. 6o) la parabole donnée, dont DC est le diamètre, et que du point donné B il faille tirer la ligne droite BE, qui rencontre
Fig. 6o.
DC au point E et qui soit la plus grande qu'on puisse tirer du même point E jusques à la parabole : — à savoir au dehors de cette parabole, comme ceux qui ne sont point sourds volontaires entendent assez, de ce que je la nomme la plus grande.
Je prends B pour BC et D pour DC, d'où il suit que le côté droit est
-^y et sans m'arrêter à chercher la plus grande, je cherche seulement
le quarré de BC en d'autres termes que ceux qui sont connus, en prenant A pour la ligne CE, et par après en prenant A -h E pour la même : à savoir, je la cherche premièrement par le triangle BCE, car
comme A esta y?, ainsi A -{- E esta »
qui par conséquent représente BC, et son quarré est
.-t^.in Bg,-h A in E in 7^7. bis -h Eq.in Bq,
Aq.
( » ) Lettre XXV.
Ikk ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.
puis je la cherche par la parabole, car, quand EC est A -h E, D(] est 0 H- /?, et le quarré de BC est
fiq, \nD -\- Bq, in E D '
qui doit être égal au précédent, à savoir
A in E in Bq, bis -f- Eq, in Bq, , Bq, in E
D'où Ton trouve, en suivant la règle, quei4, c'est-à-dire CE, est double de />, c'est-à-dire CD, comme elle doit être.
Or il est à remarquer que cette condition qui étoit omise, est la même que j'ai expliquée (*) en la page 34(3, comme le fondement de la méthode dont je me suis servi pour trouver les tangentes, et qu'elle est aussi tout le fondement sur lequel la règle de M. F. doit être appuyée; en sorte que, l'ayant omise, il fait paroitre qu'il n'a trouvé sa règle qu'à tâtons, ou du moins qu'il n'en a pas conçu clairement les principes.
Et ce n'est point merveille qu'il l'ait pu former sans cela, car elle réussit en plusieurs cas, nonobstant qu'on ne pense point à observer cette condition, à savoir en ceux où Ton ne peut venir à l'équation qu'en l'observant, et la plupart sont de ce genre.
8. Pour ce qui est de l'autre article, où j'ai repris la façon dont se sert M. F. pour trouver la tangente de la parabole, vous dites qu'ils assurent tous qu'il faut prendre une propriété spécifique de l'hyperbole ou de l'ellipse pour en trouver les tangentes. En quoi nous sommes d'accord, car j'assure aussi la même chose et j'ai apporté expressément les exemples de l'ellipse et de l'hyperbole, qui concluent très mal, pour. montrer que M. Fermât conclut mal aussi touchant la parabole dont il ne donne point de propriété spécifique.
(]ar de dire (^) qu'il y a plus grande proportion de CD à DI que du
(*) Géométrie de Descarlcs, éd. Hormaim, pages 36 cl Sj. (2) f'oir Tome I, page i35, lignes 4 à G.
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quarré de BC au quarré de 01, ce n'est nullement une propriété spécifique de la parabole, vu qu'elle convient à toutes les ellipses et à une infinité d'autres lignes courbes, au moins lorsqu'on prend le point O entre les points B et E comme il a fait, et s'il l'eût pris au delà, elle eût convenu aux hyperboles. De façon que, pour la rendre spécifique, il ne falloit pas simplement dire sumendo quodlibet punctum in recta BHl, mais il y falloit ajouter sive sumatur iUud intrapuncta B et E, swe ultra punctum B in lineâ EB productâ. Et cela ne peut être sous-entendu en son discours, à cause qu'il y décrit la ligne BE comme terminée des deux côtés, à savoir, d'un côté par le point B qui est donné, et de l'autre par la rencontre du diamètre CD.
Outre cela il falloit faire deux équations et montrer qu'on trouve la même chose en supposant El être A -h E, que lorsqu'on le suppose être A ^ E. Car sans cela le raisonnement de cette opération est imparfait et ne conclut rien.
9. Voilà sérieusement la vérité de cette affaire. Au reste, pour ce que vous ajoutez, que ces Messieurs qui ont pris connoissance de notre entretien ont envie de nous rendre amis, M. Fermât et moi, vous les assurerez, s'il vous plait, qu'il n'y a personne au monde qui recherche ni qui chérisse l'amitié des honnêtes gens plus que je fais, et que je ne crois pas qu'il me puisse savoir mauvais gré de ce que j'ai dit franchement mon opinion de son Écrit, vu qu'il m'y avoit provoqué. C'est un exercice entièrement contraire à mon humeur que de reprendre les autres, et je ne sache point l'avoir encore jamais tant pratiqué qu'en cette occasion; mais je ne la pouvois éviter après son défi, sinon en le méprisant, ce qui l'eût sans doute plus offensé que ma réponse.
Je suis, mon Révérend Père,
Votre très humble et très affectionné serviteur,
Descxktes,
Du 3 mai i638.
Fermât. — II. J9
BILLET AJOUTE A LA LETTRE PRECEDEiNTE (*).
Pour entendre parfaitement la troisième (*) page de ma lettre, et par même moyen le défaut de la règle de M. de Fermât, il faut considérer ces trois figures (^fig- 63) et penser que lorsqu'il dit : Statualuridem qui prias terminus esse A -h E^ cela signifie qu'ayant posé EC pour A et El pour A -\' E, il imagine El être égal à EC, comme on le voit en la troisième figure, et que néanmoins il en fait le calcul tout de même que si elles étoient inégales, comme on le voit en la première et seconde figure, en cherchant premièrement EB par EC qu'il nomme A^ puis EO par El qu'il nomme A -\- E.
Fijç. G3.
Et cela va fort bien, mais la faute est en ce qu'après les avoir ainsi calculées, il dit simplement : Adœquentur. Et on la peut voir clairement par la première figure oii si l'on suppose la ligne EO ("*) être égale à EB, il n'y a rien qui détermine les deux points B et 0 à s'assembler en un endroit de la circonférence du cercle plutôt qu'en l'autre, sinon que toute cette circonférence ne fut qu'un seul point, d'où vient que toutes les quantités qui demeurent en l'équation se trouvent égales à rien.
Mais pour faire que ces deux points B et 0 ne se puissent assembler
( ï ) L'original do la Lettre précédcnlo a fait partie de la collection des autographes dt* Descartes anciennement conservée à TAcadémie des Sciences et volée par Libri. Celui du fragment (lue nous colons XXVIII n'y figurait pas; il n*est donc connu que par Clerselicr.
( î ) Voir plus haut XX VII, 5.
(3) Addition en mar^^c : « Notez que je suppose ici que c'est le point E qui est donné et non le point B. »
