Commentaire de Bachet sur Diopbante, IV

<i Résoudre : (j7,-1- x,-)- .r3).r,= ; {.Vi-h .r.>-h .i:,) .r.,= ^-; (,r,-i- j-2+ ,r3).r3= y'S

nvcc la condition que a soit entier, .r,, .r.,, .rj, p, y pouvant être sim|ilcment rationcls. Si l'on pose .r, + .r-y-h .V3= x- cl (i = .r-- — z^, on arrive ù la condition

d'où (2ï -1-1)2= lOcî.fî— S-/^— H3''-i-i.

On résoudra en égalant cette dernière expression ù (4^-'^ — S)''; mais a ne peut guère être obtenu entier ([u'cn prenant o = i. .>

Bachet n'a pas fait des essais sufrisamment rigoureux. Prenons en elfct [pour y'J uii cube arbitraire dont la racine soit de la i'ornic 3 /i -I- I .

Nous aurons, par exemple, a égaler 2x- — 34/1 à un triangle ^-^^ — -

et iGx-— 2701 à un carré [(2a + i)-]; or on peut, si l'on veut, prendre pour racine de ce carré -{X — 3, etc.

Rien n'empêche, en effet, de généraliser la méthode et de prendre au lieu de 3 un autre nombre impair tout à fait quelconque, sauf à choisir le cube en conséquence.

21. — Commentairâ de Bachet sur Diophante, IV, 45. n Diophante enseigne dans ce problème à traiter la double cfjiiaiinn a.r H- /^ = D T "1 -î^ -f- /'i = n 1

pour le cas où a et ^^i sont différents et où d'ailleurs le rapport de a h a^ n'est pas un carré, mais en supposant que l> et l'i soient des carrés inégaux; IJacliet montre que la solution est également possible, b cl l>\ étant quelconques : 1° si, en supposant « > <?i. le rapport de ab^ — bai à a — aj esl carré; -2" si, avec la môme liypoilièse oy-rit, le rapport de a, b — //[« à a, est carré. «

Mais que l'on propose, par exemple, la double équation

on pourra prendre les carrés iG = 9.x -1-5, 3G = Gx 4- 3; cl il y en a une infinité qui satisfont de même à la question. Il n'est pas d'ailleurs

■25i ŒUVRES DE FERMAT. [308,3091

(lifRcilo (le donner une règle générale pour les problèmes de ce genre, on sorte que les conditions posées par Bachet sont à peine dignes de lui, car on peut aisément étendre à une infinité de cas, bien plus à tous les cas possibles, ce qu'il n'a trouvé que pour deux cas seulement.