Diophante, V

n llcsoudrc Xi-Cj-l-fl = □ , .rj.r3 + « = □ , .r3.r,+ « = □ , .r|+« = □ , j-2-Hr/ = □ ,

De cette solution, il est facile de déduire celle de la question suivante :

Tramer quatre nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté d'un nombre donné, fasse un carré.

Soient pris en effet, pour trois de ces nombres, ceux qu'on aura trouvés pour le problème de Diophante et qui satisferont dès lors, en outre, à la condition que chacun d'eux, augmenté d'un nombre donné, fasse un carré. Soit a? + i le quatrième nombre ii chercher; on aura une triple équation facile à résoudre par ma méthode. Voir la Note sur le problème VI, 24.

Nous aurons ainsi une solution de la question proposée par Bachet sur III, 12, et outre que le procédé est plus général, il a sur celui de Bachet cette supériorité que les trois premiers nombres, augmentés chacun du nombre donné, donnent des carrés.

Toutefois, je ne sais pas encore si le problème peut être résolu en posant la condition que le quatrième nombre, augmenté du donné, fasse également un carré; c'est une recherche qui reste à faire.

2;i. — Diophante, V, 8.

u Construire trois triangles rectnngles numériques donl les aires soient égales. »

Mais peut-on trouver quatre ou même un plus grand nombre, allant jusqu'à l'infini, de triangles de même aire? Rien ne parait s'opposer

|M0, 311) OBSERVATIONS SUIl DIOPIIANÏE. 25o

à ce que cette question soit possible; elle est donc à examiner plus profondément.

J'ai résolu le problème; bien plus, pour un triangle donné quelconque, j'en fournis une intinité ayant la même aire. Soit, par exemple, G l'aire du triangle 3.4-5, en voici un autre de même

aire : —■- > ou, si l'on veut le môme dénominateur :

lo 7 70

Voici le procédé qui peut, sans exceptions, s'appliquer indéiiniment. Soit un triangle quelconque, d'hypoténuse z, de base h, de hauteur f/. On en déduira un autre triangle non semblable, mais de même aire, en formant ce nouveau triangle avec les nombres ;- et ibd, sauf il diviser par iz-lr ~ 2zd'- les expressions du quatrièm<' degré qui représentent les cotés. Le triangle ainsi obtenu aura toujours une aire égale à celle du triangle dont il dérive.

Du second triangle ainsi déterminé, on en déduira, par la même méthode, un troisième; de ce troisième un quatrième; du quatrième un cinquième, et on aura ainsi une série indéfinie de triangles dissemblables et de môme aire.

Pour que l'on ne doute pas qu'il soit possible d'en donner plus de trois, à ceux de Diophante : 40.42.58, 24.70.74, ij. 11 2.11 3, j'en ajoute un quatrième dissemblable et de même aire : hypolé-

nuse -, — ; base 3 — : hauteur — :-•

iibg 1189 1189

Si l'on réduit tous ces nombres au même dénominateur, on aura,

en entiers, les quatre triangles suivants de même aire :

On pourra en trouver une infinité de même aire en poursuivant l'application du procédé, et dès lors étendre le problème suivant de Diophante au delà des bornes où il l'a restreint.

Voici, obtenu par un autre procédé, un triangle dont l'aire est le sextuple d'un carré, comme celle du triangle 3.4-5 :