Commentaire de Bachet sur Oiophante, V

« Sur les conciliions imposées au choix du nombre donné n pour la possibililc du pmblome :

La condition posée par Bachet n'est, elle-même, pas satisfaisante : bien plus, il n'a pas fait ses essais avec assez de soin, car sa règle n'exclut pas le nombre 37, qui ne peut cependant être pris. Voici comment on doit concevoir la véritable condition : Prenons deux progressions géométriques suivant la raison l\, et dont les premiers termes soient i et 8; superposons-en les termes comme suit :

I, 4, 16, G^, 9,50, 1024, 4096, clc, 8, 32, 12S, 5i2, 2048, 8192, 327G8, etc.

Je considère d'abord le premier terme de la seconde progression, 8 ; il faut (|ue le nombre donné ne soit ni le double de i (terme superposé à 8), ni égal à la somme d'un multiple de 8 et du double de i.

Je considère en second lieu le second terme de la seconde progression, 32, et je prends le double du terme 4 superposé; j'ajoute ii ce double, 8, la somme des termes qui précèdent dans la même progression, celle du dessus (dans ce cas, cette somme se réduit ;i l'unité); j'ai ainsi 9.

Prenant donc les nombres 32 et ç), je dis que le nombre donné ne doit être ni 9, ni la somme de 9 et d'un multiple de 3.>..

Je considère maintenant le troisième terme de la seconde progression, 128; je prends le double, 32, du nombre iG superposé; j'ajoute la somme des termes antécédents dans la même progression du haut, c'est-à-dire i et 4; j'ai 37. Prenant donc les deux nombres 128 et 37, je dis que le nombre donné ne doit être ni 37, ni la somme de 37 cl d'un multiple de 128.

Keuhat. — Ul. 33

■im ŒUVRES DE FERMAT. [315,317]

Jo considère encore le quatrième terme de la seconde progression; le même procédé me donne les nombres .ji2 et i/|C). Il faudra donc (|ue le nombre donné ne soit ni 1/19, ni la somme de 1^9 et d'un multiple <le J12.

Voilà la méthode uniforme dont l'application doit se poursuivre indéfiniment, et qui n'a pas été indiquée par Diophante dans sa généralité, ni reconnue par Bachet lui-même; les essais de ce dernier ont même été fautifs, non seulement pour le nombre 37, comme je l'ai déjà indiqué, mais aussi pour 149 et les autres, qui tombent également dans les limiles des essais qu'il déclare avoir faits [jusqu'à 325].

!28. — Diophante, V, 19.

n Rcsoiuire :

(./:,-H.r,+ .r3)3 — .r,= 3^, (x,H- ,r,-l- j-jj'i— r.,= aj, {.r,-i- .r.,-h .r^)' — .1-3= oi'\. a

Ou bien le texte grec est corrompu, ou bien Diophante n'a pas exprimé le moyen par lequel il a obtenu sa solution. Bachet croit qu'il a été aidé par le hasard, ce que je n'admets guère, car je pense que sa méthode n'est pas difficile à retrouver.

Il s'agit de trouver un carré plus grand que 2, mais plus petit que 3, et dont la différence avec 3 se partage en trois cubes (').

Prenons, pour racine du carré cherché, une expression composée d'un terme en x et de — i, par exemple : x — i. Si je retranche de 3 le carré de cette expression, il reste : 2 -+- 2x — x-, qu'il s'agit de décomposer en une somme de trois cubes de façon que l'équation se réduise à deux termes de degré consécutif.

On peut y arriver d'une infinité de façons : soit i — r,x la racine de l'un des cubes; pour celle du second, prenons i-hx, afin que la

( ' ) Si, d'après la marclio de Diophante, on pose X[ -+- xj + x^ = ;, ai = — , a, = — .

c(i= —, on arrive à la condition z^i'i ) = 1 . Diophante suppose

/«n \ rn\ m:, m\ j

— 7 -+- - , H r <i; le carré — ■ doit donc -satisfaire aux conditions indiquées par

Kermat.

[317,310] OBSERVATIONS SUR DIOPTIANTE. 259

somme de ces deux cubes donuc ix pour le terme du premier degré; la raciuc du troisième ne devra comprendre qu'un terme en x, qu'il faudra d'ailleurs aiïectcr du signe —, pour que la valeur de x reste dans les limites assignées; mais il ne sera pas dilTicile de choisir le coolTicient de ce terme en .r de manière que la solution tombe eiïectivement entre les limites en question.

Cela fait, il est clair que notre premier cube sera plus petit que l'unité, comme nous le désirons; au contraire, le second est plus grand, et le troisième est affecté du signe — ; il s'ensuit qu'il faut trouver deux cubes dont la somme soit égale à la différence du second et du troisième; nous arrivons ainsi, comme Diophante, ii sa seconde opération.

« Mais nous avons », dit-il « dans les Porismes, que la différence de deux cubes quelconques est aussi la somme de deux cubes. »

Ici Bachet est de nouveau embarrassé et, comme les Porismes de Diophante lui font défaut, il soutient qu'il y a là un problème qui n'est possible que sous une certaine condition; il enseigne en elfet ii partager en deux cubes la différence de deux cubes, mais seulemeni lorsque le plus grand des cubes donnés surpasse le double du plus petit, et il avoue franchement qu'il ignore comment on peut en général partager en deux cubes la différence de deux cubes quelconques. J'ai exposé plus haut, à propos du problème IV, 2, la solution générale de cette question et des autres relatives au même sujet.

2!). — Diophante, V, 24.

ti Trouver trois carrés tels ([uc le produit dos trois, |)liis l'un quelconque d'entre eux, fasse un carré. Le jiroblèmc est ramené à trouver trois triangles rectangles tels (|uc le rapport du produit des bases au produit des liautcurs soit carré. »

Voici comment je restitue et j'explique la méthode de Diophante. qui n'a pas été comprise par Bachet.

Ayant pris comme premier triangle : 3, 4. 5, pour lequel le produit des côtés de l'angle droit est 12, Diophante dit : « On est ramené ii chercher deux triangles tels que le produit des cotés de l'angle droit

il(> l'un soit 12 fois le produit des cotés de l'angle droit de l'autre. » i.a raison en est que si l'on multiplie entre eux ces deux produits, on aura un nombre plan semblable à 12, et que dès lors, en multipliant ce dernier nombre par 12, on aura un carré, ce que demande le problème proposé.

Diopbantc continue : « Or l'aire de l'un de ces triangles sera 12 fois celle de l'autre », ce qui est évident de soi-même. « Mais au lieu de \i fois, on peut prendre 3 fois »; en effet, 3 étant le quotient de 12 par le carré '1, la multiplication générale des bases et des hauteurs donnera toujours un carré, puisque, si l'on divise un carré par un carré, le quotient est encore un carré.

La suite du texte de Diophante ne donne pas la solution cherchée, mais je la restituerai comme suit :

Dans le cas proposé, on formera l'un des deux triangles des nombres 7 et 2, l'autre des nombres 5 et 2. Le premier triangle aura son aire triple de celle du second, et leur couple satisfera à la question.

Au reste, pour trouver deux triangles rectangles dont l'aire soit dans un rapport donné, voici la règle générale.

Soit - le rapport donné, en supposant /•>.v. On formera le plus grand triangle des nombres 2/- + s et /• — .9, le plus petit des nombres /■ -+- is et r — ^. .

On peut encore former les deux triangles des manières suivantes :

Le premier de 2r — ^ et /• 4- s, le second de 2,v — r cl r -h s;

Le premier de Gr et 2/- — v, le second de /(/• + :? et 4^— 25;

Le premier de r -+- ^\s et -ir — 4^, le second de ijs et ;• — 2^.

On peut déduire de ce qui précède une méthode pour trouver trois triangles rectangles dont les aires soient proportionnelles à trois nombres donnés, pourvu que la somme de deux de ces nombres soit quadruple du troisième.

Soient donnés, par exemple, les nombres r, s, t, et supposons /•-!-/ = 4^- 0" formera les trois triangles comme suit : le premier de '• -1- '|.9 et 2r — 1^, le second de G^ et r — is, le troisième de 4* + ' ^^ '\s — 2/. (J'ai admis /> /.)

[321, :iî4i OBSERVATIONS SUR DIOPIIANÏE. -201

On peut également en tirer un moyen de trouver trois triangles rectangles en nombres, tels que leurs aires forment un triangle rectangle.

On ramènera en elFet la question à trouver un triangle pour lequel la somme de la base et de l'hypoténuse soit quadruple de la hauteur. Ce problème est facile, et le triangle cherché sera semblable au suivant : 17, I j, H. Quant aux trois triangles, les nombres générateurs seront : pour le premier, 4o et 2; pour le second, 47 <^t -; pour le troisième, 4^^ Pt i •

Enfin on aura également le moyen de trouver trois triangles don( les aires soient proportionnelles à trois carrés donnés, en supposani que la somme de deux de ces carrés soit quadruple du troisième. On pourra aussi trouver de même trois triangles ayant leurs aires égales; enfin nous pouvons construire d'une infinité de façons deux triangles rectangles, avant leurs aires dans un rapport donné, en multipliani l'un des termes du rapport ou les deux termes par des carrés donnés, etc.