Diophante, V

« Trouver trois carrés, tels que le produit des trois, moins l'un quelconque d'entre eux, fasse un carré. Le problème est ramené à trouver trois triani;les rectangles tels que li' rapport du produit des hypoténuses au produit des hauteurs soit carré. »

De même que pour le précédent, Bachet a traité ce problème en laissant de coté la méthode de Diophante, qui reste donc à éclaircir et à expliquer. Il s'agit à cet effet de trouver deux triangles rectangles tels que le produit de l'hypoténuse et de la base dans l'un de ces triangles soit dans un rapport donné avec le même produit pour l'autre triangle.

Cette question m'a longtemps tourmenté, et quiconque essayera de la résoudre pourra reconnaître qu'elle est vraiment didicile; j'ai enfin découvert une méthode pour la solution générale.

Soit il chercher deux triangles tels que le produit de l'hypoténust; par la hauteur, dans l'un de ces triangles, soit double du même produit dans l'autre.

Soient a et 1) les nombres générateurs de l'un des triangles, a et d ceux (le l'autre.

Pour le premier, le produit de l'hypoténuse et de la hauteur sera 2 ha' -^ ib^ a ;

Pour le second, le même produit sera 2r/a'+ -id'a. On demande que le premier de ces produits soit double du second : par conséquent

ba^ + />■* rt =; 2 d<i' -h 2 rPa.

Divisant tous les termes par a,

ha- A- b^ = 1 da'' + id^; transposant :

■id^ b^ =1 brr- — 1 da\

Pour résoudre la question, il faut donc que le (juotient de -id' — />' par h — id soit un carré.

Il s'agit par suite de trouver deux nombres, h et d, tels que l'excès du double du cube de l'un sur le cube de l'autre donne un carré, si on le divise ou si on le multiplie (car cela revient au même) par l'excès du double du second sur le premier.

Soient 37 + 1 l'un de ces nombres et i l'autre. L'excès du double du cube du premier sur le cube du second est i + Go; -i- iix'- 4- 2^:'; l'excès du <louble du second nombre sur le premier est i —x. \a' produit de i -h ùx -+- 6a;- -i- -ix^ par i — x doit être un carré. Or ce produit est \ -{- ^x -- l\x^ — ix\ qu'on peut égaler au carré de i -T-'ix ~ '^x'-. Le reste n'olTre plus de difTiculté.

Pour étendre cette méthode au cas d'un rapport quelconque, il sulfira de prendre, pour l'un des nombres, la somme de x et de l'excès du plus grand terme du rapport sur le moindre ; pour l'autre nombre, ce même excès; c'est ce que nous avons fait au reste pour le rapport de 2 à I. De cette façon en effet le terme indépendant de x dans le produit final sera un carré, et l'équation pourra se traiter facilement; sa solution conduira à deux nombres représentant h et d et l'on remontera ainsi au problème primitif.

Rn revoyant ce que j'ai écrit ci-dessus sur cette question de Dio-

[325,320] 0I5SERVATI0NS SLR DIOPHANTE. -Ml

phanle, j'ai été sur le jxiiiU de tout effacer parce qu'eu réalité ce n'est pas elle qui se rauiène au problème dont j'ai exposé la solution ; cependant, si je nie suis trompé en réduisant une question à une autre, cette dernière n'en est pas moins valablement résolue; mou travail a donc été plutôt mal placé que perdu et je laisse tel (|ui'l ce que j'ai écrit dans la marge.

Quant il la question même de Diophante, je l'ai soumise à un nouvel examen et en employant toutes les ressources de ma méthode, j'ai enfin obtenu la solution générale; toutefois je ne vais donner qu'un exemple, dont les nombres montreront suffisamment par eux-mêmes que ce n'est point le hasard, mais une méthode régulière qui a permis de les trouver.

Diophante propose en fait de chercher deux triangles rectangles, tels que le produit de l'hypoténuse par la hauteur pour le premier soit au même produit pour le second dans le rapport de 5 ;i i.

Voici deux triangles satisfaisant à

rreniier triangle. Second triangle.

Hypolémiscs -18 '^iî ("'Co 109, 4'. r,M\ 7 Ja <):J8,

Bases 'M'> o83 779 3og, 4' 990 695 480,

HaïUeius S-». 472 ,(75 58o, 7394200038.