Diophante, V

« Rcsoudrc .r? h- .r^ -^ « = D , ■'^i -1- .r| -1- « = D , .r; -1- .rj H- « = D . "

Grâce à ce problème, nous obtenons la solution d'une question (|ui, autrement, paraîtrait très difficile : Etant donné un nombre, en trouver quatre tels que leurs sommes deux à deux, augmentées du nombre donné, fassent des carrés.

Soit donné le nombre i 3 ; on commencera par chercher, d'après la solution de Diophante, trois carrés tels que leurs sommes deux à deux, augmentées du nombre donné, fassent des carrés. Soient ;), -^,, ^x[ ces trois carrés; on prendra, pour le premier des quatre nombres cherchés : x- — iS; pour le second : Gx + 9 (9 étant l'un des carrés trouvés et G, coefficient de x, le double de la racine de ce carré); d'à-

'2Gk ŒUVRES DE FERMAT. [320,327]

pri's le même procédé, on prendra pour le troisième nombre : Ix + ,^, cl pour le quatrième : \^x -+- ^.

Grâce à ces positions, on satisfait ;» trois des conditions de l'énoncé; car si l'on (ait la somme du premier nombre et de l'un quelconque des trois suivants, et que l'on ajoute i5, on a un carré.

Il faut encore qu'on ait des carrés en ajoutant i5 soit à la somme du second et du troisième, soit ii celle du troisième et du quatrième, soit à celle du second et du quatrième. Nous aurons ainsi une triple équation, qui sera facile à traiter, parce que, grâce ii la construction .dont nous avons emprunté l'artifice au problème de Diophante, dans chacune dos expressions à égaler à un carré, le terme constant sera un carré, et qu'il n'y aura en outre qu'un terme en x. Voir à ce sujet ce que j'ai dit sur le problème VI, 24.

,"52. — Diophante, V, 31.

■( Uésoiidrc .r\ -i- .c?, — <7 = H , .il -+- ''j — « = □ , -rj h- .r] - « = D • »

Un artifice analogue îi celui que nous avons employé sur la précédente question, pour trouver quatre nombres tels que leurs sommes deux à deux, augmentées d'un nombre donné, fassent des carrés, peut servir pour passer de la présente question de Diophante à la recherche de quatre nombres tels que leurs sommes deux à deux, diminuées d'un nombre donné, fassent des carrés.

On prendra pour le premier nombre : x- -h le nombre donné; pour le second, on ajoutera le premier carré trouvé d'après Diophante ;i un ternie en x ayanJ; pour coefficient le double de la racine de ce carré; etc. Le reste est évident.