Diophante, V

« Résoudre : .r} -r- .v'i -i- jJ = D ■

Pourquoi ne cherche-t-il pas deux bicarrés dont la somme soit un carré? C'est que ce problème est impossible, comme notre méthode de démonstration peut le mettre hors de doute.

1327,329] OBSERVATIONS SUR DIOTHANTE. 265

3t. — Diophante, VI, 3.

Il Trouver un iri.iiiglc rectangle en nombres, dont l'aire, augmcnU'e d'un nombre donné, fasse un carré. » — Viète avait supposé à tort, comme le remarque Bachel, que le nombre donné devait être la somme de deux carrés. Dans les problèmes suivants, Faire doit c^trc diminuée ou retranchée d'un nombre donné.

Voici sans doute l'origine tle l'erreur de Vicie : cet illustre savant aura égalé l'aire à la difTércnce de deux bicarrés ('), comme a:* — i, [)Oiir en faire un carré, en y ajoutant le quintuple d'un carré, j élanl le nombre donné.

Ce dernier nombre étant somme de deux carrés, on peut en eiïel trouver un carré, dont le (|iiintuple, diminué d'une unité, fasse un carré. Prenons pour racine de ce carré à quintupler .r -i- i (le coeiïicicnt de x pourrait être pris différent de l'unité); le quintuple du carré sera 5x--i- 100; + 5; en ajoutant l'aire, x'' — i, on a la somme x*-h5x-+ iox-t-4, à égaler à un carré, ce qui est aisé, le terme indépendant de .r étant carré, par suite de l'hypothèse ajoutée comme condition.

Mais Viète n'a pas vu (jue le problème peut se résoudre tout aussi bien en prenant pour l'aire, non pas .r* — i, mais i — r' ; car alors la question se ramène immédiatement ii faire que le nombre donné, "i, (), ou tout autre quelconque, multiplié ])ar un carré, fasse un autre carré, après addition de l'unité; ce qui peut se résoudre très facilement et sans exception, puisque l'unité est un carré.

J'ai résolu cette question, ainsi que les deux suivantes, par une méthode particulière, qui permet, si nous cherchons, par exemple, un triangle dont l'aire, augmentée de 5, fasse un carré, de donner un tel triangle en nombres minimi : |, ^, ^' ; l'aire est 20, et en ajoutant 5, donne le carré 2J.

( ') C'est efTectivement la marche que suit Diophante, et qui revient à supposer carré le rapport dos deux nombres générateurs du triangle. La solution de Viète (Zcict., V, !)) est présentée sous forme synthéti(|uc et correspond à une combinaison particulière : le nombre donné étant supposé de la forme rî + .çî, il prend pour nombres généralcur.-i (/• -1- i)' et (r — .f )2 et divise les côtés du triangle par ï{r + s)(r — .i)^

Feomat. — ni. ot|

206 ŒUVRES DE FERMAT. [3.9, 3:sij

Mais ce n'est pas ici la place de développer le principe et l'emploi de cette méthode; la marge n'y sufllrait pas, car j'aurais bien des choses à dire à ce sujet.