IV

, . (iv IV (iv IV

Nous prouverons de même que y^ — j^ ou ncissim ^p = yj^

Mais y^ = y^ (les rectangles KV x VU, FV x VX, dans le cercle.

étant égaux), et nous avons prouve que vrv = yu ' ''•^'i'^'' *^' ^'" *^'"''^' î^ = ~4- »onc KV X VA = FV x VB, rectangle donné.

D'autre [tari, 'y = \ v' f^t P^"' suite IV <\ |{ = (IVxVX, rectangle donné.

Par conséquent, si par le point V on mi'ne dans le prolongement l'une de d'autre deux droites AV, VK, dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de l'une, soit VA, se trouve sur un cercle donné de position, l'extrémité de l'autre se trouvera sur un lieu plan (le cercle XKF) donné de position.

'.\. Pkoi'ositio.n. — .SV d'ii/i poiitl donné on mène sous tin angle donné deux lignes dans un rapport donné, et que l' extrémité de l' une se trouve sur un lieu plan donné de position, d en sera de même pour l'extrémité de Vautre.

Soit H le point donné (y?g". )) et, en premier lieu, une droite AF

donnée de position. La perpendiculaire HB abaissée sur elle sera donnée.

in, 10 1

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS

Soit l'angle BHE égal à l'angle donné, et . dans le rapport donné.

La droite HE sera donnée de position, ainsi ([ne le point E. De ce point E j'élève sur la droite HE la perpendiculaire indétlnie DEG; elle sera donnée d(! position. Prenant sur AF un point C (jueleonque, et joignant HC, je lais l'angle CHI égal au ^lonné : je dis qu(^ -nj est dans le rapport donné.

En effet, les angles BHE, CHI étant égaux, si je retranche la partie commune CHE, les angles lîHC, EHI seront égaux. Ceux en B et E sont

I f I > ML"

droits; donc les triangles IIBC, HEl sont scmMables. Donc ^ — .jj'»

.... 1115 ne , , , ,1

et ricissim yj^ = -rTy : c est le rapport donne.

111^ cil

Si donc du point donné H on mène deux droites HC, Hl sous un angle donné CHI et dans un rapport donné, et si le point C de l'une H(] se trouve sur une droite donnée de position, l'extrémité de l'autre S(! trouve sur un lieu plan, la droite DG, dont la position est donnée, comme il a été prouvé.

Si la première extrémité se trouve sur un cercle, soit A le point

donné (/ig. G), lE le cercle donné de positioci. F son centre. Joignez FA (|ui coupe le cercle en I; soit un angle lAD égal au donné, et -rjdans le rapport donné. AD sera donnée de position ainsi que le point D.

De C comme centre, décrivez le cercle DB,

Prolongez et soit tt;

" Al)

ItC'

I'Eumat.

Ml.

qui ost évidemment donné de position. Soit pris sur le premier cercle un point E (juelconque; joignez EA; soit l'angle EAB égal au donné,

et le point R sur le second cercle, je dis que |c^ est le rapport donné.

Joignant FE, BC, on prouvera, comme ci-dessus, que les angles FAE, CAli sont égaux et, en raisonnant comme dans la proposition 1

Al? \ t^

(^Migure), nue les triangles FAE, CAB sont semblables. Donc tt; = ttt' ^ ^ I " Ah AU

, • . ■ AF 1 , • I- AI AE p. , . AE , i i

et i:icissim -r—, c est-a-dire -r-,- = ttï- Uonc le rapport -r-r, est le donne A(, AI) Ali ' ' A15

et le sens de la proposition est évident, aussi bien que la conséquence.

4. PuoPOsrnoN. — Que d' un point donné on mène deux lignes sous un angle donné et telles que leur rectangle soit donné; si l'extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position , il en sera de même pour l'autre.

Soit G le point donné (/ig. 7) avec la droite AG donnée de position, sur laquelle j'abaisse la perpendiculaire GB; soit BGE l'angle donné

et BG X GE l'aire donnée. Sur GE, je décris le demi-cercle GEF. Prenant sur la droite donnée de position un point quelconque D, je joins DG, et fais l'angle DGF égal au donné; je dis que DG x GF est égal ii l'aire donnée.

Joignant FE, je prouverai, comme dans la proposition précédente, l'égalité des angles BGD, EGF; mais ceux en B, F sont égaux comme droits; on conclura la similitude des triangles BGD, EGF, l'égalité

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS

des rectangles BG x GE, GD x GF, et la vérité de la proposition. Si donc, etc.

Soit maintenant A {Jlg- B) le point donné, avec le cercle HGE donné de position. Je mène par son centre la droite AEH qui coupe la

Fis:. 8.

circonférence aux points E, H. Soit HAB l'angle donné, et HA x Al, aussi bien que EA x AB, égal à l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur IB (lequel est évidemment donné de position) satisfera à la question. En effet, menons par exemple GFA, et faisons l'angle GADC égal au donné. Je dis que les rectangles GA x AD et FA x AC sont égaux ii l'aire donnée.

Gar, comme HA x Ai = EA x AB, on a -rrr = -rr • Mais, d'après le

AL Al 1

raisonnement de la proposition précédente, l'égalité des angles H.\G,

BA(] est évidente; aussi bien, comme dans la proposition 2, on dé-

, ■ f -, , IIA liA ^, . IIA FA ,

duira lacilcment — - = — r- Mais rrr- = -.vi' donc (lA AL (lA AE

1<A ÀË

d'où

FA X AC = l)A X AL, le icclan^lc il onné,

D'autre part :