OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE

Le triangle ijy.5, 1S17, ijG, formé des nombres 39 et 2, esl un de ceux qui satisfont à la question.

J'ajoute d'ailleurs avec confiance que les deux triangles ci-dessus sont les petits en nombres entiers qui satisfassent aux questions proposées.

Voici quelle est ma méthode : Cherchez, suivant le procédé ordinaire, la solution de la question proposée. Si, après l'achèvement des calculs, l'opération n'aboutit pas, parce que la valeur à donner à l'inconnue se trouve aiïectée du signe — et doit être resardée comme plus petite que zéro, j'alfirmc hardiment qu'il ne faut pas désespérer et rester à bayor, comme dit Viète, mais comme il l'a fait après les anciens analystes; il faut au contraire essayer de nouveau la question en substituant à l'inconnue le binôme x moins le nombre trouvé dans la première opération comme valeur affectée du signe de soustraction. On aura ainsi une nouvelle équation qui conduira ii une solution en nombres vrais.

C'est par ce moyen que j'ai résolu les deux questions ci-dessus; autrement elles sont très difficiles. J'ai de même montré qu'une somme de deux cubes peut être décomposée en deux autres cubes, et j'ai donné la construction qui peut nécessiter la réitération de l'opération jusqu'à trois fois; il arrive en effet souvent que la vérité cherchée oblige l'analyste le plus habile et le plus industrieux à recommencer plusieurs fois le calcul, ainsi que l'expérience le fera aisément reconnaître.

i). — Problème 20 de Bachet sur Diophante, VI, 26.

« Baciicl. — Trouver iiii triangle rectangle dont l'uiro soit un nombre donne. »

L'aire d'un triangle rectangle en nombres ne peut être un carré.

Je vais donner la démonstration de ce théorème que j'ai découvert; je ne l'ai pas trouvée au reste sans une pénible et laborieuse méditation; mais ce genre de démonstration conduira à des progrès merveilleux dans la science des nombres.

272 ŒUVRES DE FERMAT. [3/iO, ;!4i]

Si l'aire d'un triangle était un carré, il y aupait deux bicarrés dont la dilTcrcnce serait un carré; il s'ensuit qu'on aurait également deux carrés dont la somme et la différence seraient des carrés. Par conséquent, on aurait un nombre carré, somme d'un carré et du double d'un carré, avec la condition que la somme des deux carrés, qui servent à le composer, soit également un carré. Mais si un nombre carré est somme d'un carré et du double d'un carré, sa racine est également somme d'un carré et du double d'un carré, ce que je puis prouver sans difficulté. On conclura de lit que celte racine est la somme des deux côtés de l'angle droit, d'un triangle rectangle, dont l'un des carrés composants formera la base, et le double de l'autre carré la bauteur.

Ce triangle rectangle sera donc formé par deux nombres carrés, dont la somme et la différence seront des carrés. Mais on prouvera que la somme de ces deux carrés est plus petite que celle des deux premiers dont on a également supposé que la somme et la différence soient des carrés. Donc, si on donne deux carrés dont la somme et la différence soient des carrés, on donne par Va même, en nombres entiers, deux carrés jouissant de la même propriété et dont la somme est inférieure.

Par le même raisonnement, on aura ensuite une autre somme plus petite que celle déduite de la première, et en continuant indéfiniment on trouvera toujours des nombres entiers de plus en plus petits satisfaisant aux mêmes conditions. Mais cela est impossible, puisqu'un nombre entier étant donné, il ne peut y avoir une infinité de nombres entiers qui soient plus petits.

La marge est trop étroite pour recevoir la démonstration complète et avec tous ses développements.

Par le même procédé, j'ai découvert et démontré qu'il n'y a aucun nombre triangulaire, sauf l'unité, qui soit un bicarré.

[:î41,3«1 observations SUU DIOIMIANÏH:. 273

i(>. — Commentaire de Bachet sur Diophante Nomb. polyg 9.

.1 TroiivcM' un polygcnio, le coLé en olaiit ilimno, ot inversement, u

.l(! inotlrai ici, sans démonstration, une proposition très bcllo et très rcinarquablo que j'ai découvortc :

Dans la progression naturelle commençant à l'unité, le produit il'nn nombre quelconqu(^ par le nombre immédiatement supérieur lait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur est le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la pvramidc du premier nombre; si c'est la pyramide du nombre imméiliatement supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une règle nnif'ornic et générale.

J'estime qu'on ne peut énoncer sur les nombres de tliéorème qui soit plus beau ou plus général. .le n'ai ni le temps ni la place d'en mettre la démonstration sur celte marge.

i7. — Bachet, Appendice, II, 27.

Voici comment j'énoncerai cette proposition d'une façon plus générale :

Dans toute progression constitutive de polygone, l'unité constitue la première colonne ; la somme des deux nombres suivants, diminuée du premier triangle multiplié par l'excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres suivants, diminuée du second triangle multiplié par l'excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi de suite indéfiniment, suivant la même loi (').

(') Soit la progression arithmclique commençanl à l'unité, et de raison /r — i.i, i + (A-— 2), i^7.(/. — ■'.), .... I -f- (h — i)(/i — ■.».), i-i-«(/i' — 2), ...: le «'"'" poly-

Ferm\t. — ni. 35

27k ŒUVRES DR FERMAT. [3421

i8. — Bachet, Appendice, II, 31.

Il suit <le là que lo produit du cube du plus graud nombre |(««)' | par lo nombre des termes [n] est plus petit que le (juadruple de la somme des cubes [2"(/2a)^].

sonc ili- /. niiLjles est la somme des ii proiniors termes

Si, diiMs kl miimo pi'oi;rossioii, du désigne par S„, la somme dos m termes qui siii\oiii

les ; premiers, on aura

Dès lors, d'après Fermai, la m "" colonne, terme qu'il a fori;é :

,,'"('« — I ) r /« ( /« — 1 ) ( /.■ — -2 ) I ■{li — \) ~ = m m H - ;

'/n - -'tu

c'est le produit par m du poly.gone ayant m pour cote.

En supposant k = 4, le polygone ayant m pour côté devient lo carré m''-, et la coloniu; C,„= m'; on retrouve donc comme cas particulier le tliéorcme énoncé par liaclict et qui élail déji\ connu dans l'antiquité.

TRADUCTION