EUVRES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE. [02 M
sinus du plus grand arc; vous ne nierez donc pas que l'inclinaison ne se fasse du coté du plus grand arc.
("cla supposé, représentons par une figure le levier DEG {^fîg- 3<0 et achevons la construction à l'exemple d'Arcliimède. Lc-grave en 1), si on le divise en parties égales suivant les arcs BC, CD, DE, EF, [lésera toujours suivant la droite DN; car si D est le point de suspension, l'ensemble reste en repos (axiome II); donc il pèse suivant DN (axiome I). Donc, soit que le grave soit tout entier en D, soit qu'il soit distribué également par parties sur les arcs BC, Ci), DE. lîF, il pèse toujours suivant la même droite DN.
De même, le grave en G, qu'il soit tout entier en ce point, ou (ju'il soit distribué par parties égales sur les arcs FG, GIÏ, pèsera toujours suivant la droite GN. Mais, comme les graves disposés sur les arcs égaux BC, CD, DE, EF, FG, GH sont égaux, l'ensemble total pèsera suivant la droite EN; la conclusion s'ensuit évidemment, ou bien il est aisé de l'établir par une réduction à l'absurde, en se servant de l'axiome III.
Il est certain qu'Archimèdc a raisonné d'une façon tout à fait sem-
Fig. 3,.
blable; car il prend, par exemple, en C {fig. 3i) le centre de gravité de la droite BD pour prouver que des graves égaux, situés en B, D,
pèsent suivant la droite CN; mais l'hypothèse qu'il fait à cet égard n'est vraie que pour la halance DKF perpendiculaire à la droite EN : elle est fausse pour les autres qui sont rencontrées sous des angles inégaux par les droites issues du centre de la Terre. Dans mon levier, cette dilHculté ne se présente pas, puisque toujours et en tout poini la droite issue du centre de la Terre le rencontre normalement.
Soient DGB une balance {Jig- 32), A le centre de la Terre, G celui
I''ig. 3-..
de la halance; décrivez le cercle de centre G et de rayon GB. Joignez DEA, BA, GFA et GE. Supposez en B et D des poids égaux, et soi! l'angle AGD plus grand que l'angle AGB; je dis que la balance, si elle est suspendue au point G, s'inclinera du coté de B, et cela suivant les suppositions mêmes d'Archimède.
Transportons en eifet le poids D en E; d'après Archimède, le poids agit toujours comme s'il était en D, puisqu'il reste sur la droite joignant le point D au centre de la Terre. Si donc on suppose qu'il est retenu en E par la droite GE, les bras CE et GB seront en équilibre, si l'on suppose que GB et GD soient en équilibre. Les angles EGF, FGB seront donc égaux, car un triangle isoscèle, aux extrémités duquel on place des poids égaux, doit se mouvoir tant que la perpendiculaire à l'horizon, c'est-à-dire la droite qui joint le sommet au centre de la Terre, ne bissecte pas l'angle au sommet; c'est au reste ce dont témoigne l'expérience. Mais l'angle EGB est double de l'angle en D ; donc l'angle FGB est égal à l'angle en D. Donc les droites GA, DA sont parallèles, ce qui est absurde; donc la halance ne restera pas en équi-
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libre, mais elle s'inclinera du côté de B, puisque l'angle BCF est évidemment plus grand que l'angle ECF.
7. Soit une parabole AB {fig- 35) de sommet A; si l'on fait tourner la ligure DAB autour de la droite DA prise comme axe tixe, on engendrera le conoïde parabolique d'Arcbimède, dont le volume est ii celui du cône de même base et de même sommet dans le rapport de 3 ii 2.
Fig. 35.
Mais si l'on lait tourner la même figure DAB autour de la droite DB prise comme axe, on engendre un conoïde d'un nouveau genre; on demande de trouver le rapport de sou volume à celui du cône de même base et de même sommet, question qui n'est pas sans dilFiculté.
J'ai démontré que ce rapport est celui de 8 à 5; j'ai également trouvé le centre de gravité du même conoïde.
(Lettre do Fonnat à Mcrseiiue pour Sainte-Croix, septembre iG36.)
Mon Rèvkuend Pkre,
1. Quoique j'aie à dire que je ne suis point un OEdipe, mais un Dave, et que j'avoue très volontiers que je ne suis point parvenu à résoudre la question de M. de Sainte-Croix, je vous demanderai la permission de vous adresser, en échange des nombres qu'il a divulgués, la solution de votre problème, et de lui proposer à mon tour quelques questions qu'il ne débrouillera pas, je crois, de si tôt, malgré les promesses qu'il vous fait et la singulière puissance de son esprit.
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2. Pour rendre donc l'épreuve plus lionorable, ainsi qu'il le dit, en choisissant des problèmes plus dilRciles, voici ceux que je propose :
1° Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que son aire soil un carré.
■i" Etant donnée la somme de l'hypoténuse d'un triangle rectangle en nombres et du produit des trois côtés, trouver les limites entre lesquelles l'aire se trouve comprise.
Ne vous étonnez pas de l'addition d'une longueur et d'un solide; car dans les problèmes numériques, comme on le sait, toutes les quantités sont homogènes.
3" Trouver deux bicarrés dont la somme soit un bicarré ou deux cubes dont la somme soit un cube.
4" Trouver trois carrés formant une progression arithmétique dont la raison soit également un carré.
3. A ces quatre problèmes, j'ajouterai deux théorèmes que j'ai découverts et dont j'attendrai la démonstration de M. de Sainte- Croix. Si mon attente est vaine, je donnerai cette démonstration. Les deux propositions sont d'ailleurs très remarquables :
1° Tout nombre est la somme de i, 2 ou 3 triangles; de i, 2, 3 ou f\ carrés; de i, 2, 3, 4 ou 5 pentagones; de i , 2, 3, /|, 5 ou G hexagones; de I, 2, 3, 4. 5, 6 ou 7 heptagones; et ainsi de suite indéfiniment.
Diophante parait supposer la seconde partie de ce théorème et Bachet s'est efforcé d'en confirmer la vérité par l'expérience, mais il n'a pas donné de démonstration. Je crois avoir été le premier îi découvrir cette proposition si générale et si belle; mais je ne sais pas si je puis, à titre de réciprocité, demander qu'elle soit admise.
2" Si l'on retranche l'unité du produit par 8 d'un nombre quelconque, on a un nombre qui est seulement somme de quatre carrés, non seulement en entiers, ce que d'autres peuvent avoir reconnu, mais même en nombres fractionnaires, ce queje m'engage à démontrer.
