ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [GG, G

Cotte proposition entraîne des conséquences rennarquablcs, qui ])ouvf'nt être à la main do M. de Sainlo-Croix, mais semblent en tout cas avoir inulilement lente le génie et les eirorls de Bachot.

4. Avant de résoudre la question que vous avez proposée sur les cubes, je répondrai à ce que vous me demandez pour le nombre G72, que je ne crois nullement qu'il soit le seul ii satisfaire à la condition imposée; mais, avec ma méthode, c'est le seul qui se présente aprc's I 20.

Cependant, dans les questions de ce genre, rien n'empêche qu'avec une autre méthode on ne rencontre d'autres nombres satisfaisant ii la condition proposée; si M. de Sainte-Croix en a de la sorte obtenu d'autres, je serais très heureux qu'il voulût bien me les communiquer en même temps que sa méthode. Les questions de ce genre sont, en cïïct, très belles et très dilficiles et personne, que je sache, ne les a encore traitées; j'ai obtenu, par un procédé particulier, des solutions pour un nombre indéfini de questions.

5. Quant au problême sur les nombres 3 et 11, j'avoue qu'il me |)araîl des plus diiïîciles et qu'après beaucoup de tentatives je n'en possède pas encore la solution. Je croirais, jusqu'il preuve du contraire, que cette solution est plutôt due au hasard qu'à la Science; mais je me trompe probablement plutôt que M. de Sainte-Croix. S'il consent ;» faire connaître les nombres qu'ij a trouvés, je lui demanderai d'ajouter le procédé suivi pour les construire.

6. Enfin, pour votre question des cubes, voici comment je la conçois :

Etant donnés autant de nombres en progression arithmétique que l'on voudra, et connaissant la raison de la progression et le nombre des termes, trouver la somme de leurs cubes.

7. Premier cas : le premier terme est i, et la raison de la progression est également l'unité.

Soient proposés autant de nombres que l'on voudra, par exemple

la somme do leurs cubes est égale au carré du triangle ayant le nombre des termes pour côté. S'il y a 9 termes, C(îmme dans le cas proposé, le triangle est /(t, et son carré, 2020, sera égal à la somme des cubes.

Cette proposition, pour ce premier cas, a été démontrée par Bacliet et par d'autres; les cas suivants ont été trouvés par moi.

8. Si le premier terme est l'unité, la raison de la progression étant un nombre quelconque, par exemple 4 dans la progression

je prends le triangle ayant pour coté la sonîine du dernier terme et' de la raison moins l'unité. Ce triangle est 210 et son carré 44ioo-

De ce carré, je retranche :

i" La somme des cubes d'autant de nombres commençant à l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la progression moins i; cette somme doit être, d'autre part, multipliée par le nombre des termes.

Dans l'exemple proposé, le produit ii soustraire d'après cette règle est 180.

2° Le triple de la somme d(ïs carrés d'autant de nombres commençant à l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins 1 ; ce triple doit être, d'autre part, multiplié par la somme des termes de la progression donnée.

Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle est i8()o.

3" Le triple de la somme d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins i; ce triple doit, d'autre part, être multiplié par la somme des carfts des termes de la progression donnée.

kermat. — m. 37