ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [GS, C

Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après celte règle est lo 170.

Ainsi la somme des nombres à retrancher de 44 '0'> est 12240; le reste est 3i8Go; je le divise par 4. raison de la progression, et j'ai ainsi le nombre -fr^ij!) qm est la somme des cubes des nombres i, 5, 9, i3, 17.

La méthode s'applique toujours de la même façon et dans tous les cas.

9. Mais je n'ai pas encore dit comment on doit calculer tant la somme des nombres i, 5," 9, i3, 17 que la somme de leurs carrés, ce qui est indispensable pour effectuer la seconde et la troisième opération.

La règle pour le premier calcul est donnée par Bachet dans son opuscule Des nombres polygones; quant au second, on opérera comme suit :

Prenez la somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la somme du plus grand terme de la progression et de la raison moins i.

Le calcul de cette somme est facile, d'après ce qu'Archimède en a dit dans son livre Des spirales.

De cette somme retranchez :

i" La somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la progression moins t. Vous aurez multiplié cette somme par le nombre (les termes;

2° Le double de la somme d'autant do nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la progression moins i. Vous aurez multiplié ce double par la somme <les termes de la progression donnée.

Après ces soustractions, vous divisez le reste par la raison de la progression, et vous aurez la somme des carrés des termes.

Des ^ègles données pour ces deux cas vous pourrez immédiatement ou sans grande difficulté déduire celles qui s'appliquent aux autres.

10. Au reste je n'ai pas voulu m'arrètcr là, mais j'ai résolu le problème qui est peut-être le plus beau de toute l'Arithmétique, c'est-à-dire celui (lii l'ou cherche, pour une progression quelconque, non plus seulement la somme des carrés ou des cubes des termes, mais celle des puissances quelconques, pour tous les degrés jusqu'à l'infini, bicarrés, carrécubes, bicubes, etc.; la méthode étant aussi générale ([ue possible.

H. Pour que M. de Sainte-Croix sache que je n'attends à cet égard ni un sphinx, ni un OEdipe, voici la solution du problème pour la somme des bicarrés. On peut l'énoncer comme suit sous forme de théorème :

Soient pris à partir de l'unité autant de nombres que l'on voudra en progression naturelle; si l'on ajoute i au quadruple du dernier el qu'on multiplie la somme par le carré du triangle qui est la somme des nombres, après avoir retranché du produit la somme des carrés (les termes, on aura le quintuple de la somme de leurs bicarrés.

Exemple : Soient pris les nombres i, 2, 3, 4; en ajoutant 2 au quadruple du dernier, on a 18, qu'il faut multiplier par 100, carré du triangle somme des nombres; du produit 1800 on retranche la somme des carrés des termes, c'est-à-dire 3o. Il reste 1770, dont le cinquième, 354, est égal à la somme des bicarrés.

Je résous de même le problème pour une progression quelconque, en imitant la construction qui précède.

Si vous ou M. de Sainte-Croix le désirez, je vous communiquerai la méthode générale pour les puissances quelconques jusqu'à l'infini.

12. En attendant, j'ajouterai une très belle proposition que j'ai trouvée et qui m'a fourni la lumière pour les questions de ce genre :

Dans la progression naturelle, on a le double du triangle ayant pour coté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le nombre immédiatement supérieur; on a le triple de la pyramide ayant pour côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le triangle du nombre immédiatement supérieur; on a le quadruple du triangulo-

-292 ŒUVRES DR !• EHM AT. - COHUESPONDANCE. [70, 7'ij

(riangle du dernier nombre, en multipliant celui-ci par la pyramide du nombre immédiatement supérieur; et ainsi de suite à l'infini, par une méthode uniforme.

13. Pour votre proposition des triangles rectangles, elle me semble énoncée dans votre lettre avec quchjuc peu d'obscurité; je la résoudrai peut-être, si vous me la proposez plus clairement.

Votre tout dévoué, Fkkmat.

(Lettre ilc Kcnnat à Roberval, du ï}, septembre if)3(ï.)

6... Si autour de la droite DA {fig. 38) on (ait tourner la parabole qui a B pour sommet, BF pour axe et AF pour ordonnée, on

Fiff. M.

engendre un conoïde d'une nouvelle cspi'ce qui est tel que, si on le partage en deux parties égales par un plan perpendiculaire ii l'axe de rotation, sa moitié sera au cône de même base et de même hauteur dans le rapport de 8 ;i ,).

Si au contraire on le coupe en deux parties inégales par un plan perpendiculaire ii l'axe de rotation, soit en E par exemple, le rapport du segment de conoïde ABCE au cône de même base et de même hau-

5EI)'-l-2AE.ED-hI)F.AE . , . , ,

leur sera r-pTT^ ; et de même le rapport du segment

de conoïde DCE au cône de même base *et de même hauteur sera

5 AE' + ». AE . El) + 1) E ■ DE