DE M. DE ROBERVAL

Si cette proposition mécanique de M. de Uoberval était vraie, que dans un levier quelconque les poids doivent être, pour l'équilibre, en raison inverse des perpendiculaires abaissées du centre du levier sur les lignes de direction, la proportion qu'il donne, dans son Traité, entre le grave et la puissance sur le plan incliné, ne pourrait subsister. Je le démontre manifestement :

Soit (Jig- 'it)) un point N sur la surface de la Terre, H le centre de la Terre. Je joins NH, et je mène ANGF perpendiculaire à HN; cette

Ki;,'. 40.

droite ANGF est une des parallèles à l'horizon pour ceux qui sont au point N. Soient enfin des sphères de centres B, G, D, tangentes en N, G. F il la droite ou au plan par ANGF.

[88,80] TU.\I)UCT[ON DES PIÈCES LATINES. 2!»o

lîa premier lieu, il est clair que la sphèro B sera mise en mouvement par une puissance aussi faible que l'on voudra, ce que M. de Hoherval ne nie pas; que, d'autre part, si elle est placée au point N, elle y sera en équilibre; mais, au contraire, elle n'y restera en auCun autre point du plan.

Achevez la figure comme ci-contre. La droite HG, qui joint le pointde contact G au centre H de la Terre, fait un angle obtus avcct^tl; donc la sphère G se mettra en mouvement dans le sens GN. 11 en sera de même pour la sphère D. Soit donc en Z une puissance retenant la sphère G par une tendance parallèle ii ANGF, c'est-à-dire suivant 7à'.. Imaginez un levier de centre fixe G et abaissez sur HG la perpendiculaire GI.

La tendance de la sphère G au mouvement naturel est dirigée suivant GH, celle qui la retient est dirigée suivant GZ, droite à laquelle GG est perpendiculaire. Donc, d'après l'hypothèse de M. de Koherval, GI :GG : : PuissanceZ : Poids G. c. q. r. d.

Mais pour retenir la sphère D, il faudra une puissance supérieure, et cette puissance devra être d'autant plus forte que la sphère sera plus éloignée du point N (ce qui est remarquable), tandis que M. de Koherval admet que le rapport de la puissance au poids ne varie pas |)our un plan donné. Il peut voir combien cela est éloigné de la vérité.

Soient {fig. 47) B le centre de la Terre, ACDK un plan incliné. Qu'en

Kiï. /.i.

.\ et en G la puissance nécessaire pour retenir le grave soit la même, cela [louvait paraître rationel aux yeux de M. de Hoberval.

.Mais, si l'on abaisse la perpendiculaire BD, puis(|u'il y a équilibre

•296 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [80,.in,9.,]

CM I) et que la puissance qui y retient est aussi faible que l'on voudra, rommcnt sa proposition peut-elle subsister?

i\[a démonstration est d'ailleurs valable pour un plan quelconque, car tout plan est parallèle à un certain horizon.

Ainsi ce qu'a démontré M. de Roberval est renversé et une voie 1res facile s'ouvre pour établir une nouvelle proportion en rapport avec ses hypothèses.

.le voulais ajouter une seconde figure pour exposer ce que je pense de sa dernière proposition, mais je n'ai pas le temps.

(Lellre (la Fernint à Itoberval du 7 dccenibre ifijO.)

1. . , Soient lîDC un levier {fig. 4^^). D son milieu, A le centre de la Terre, DA perpendiculaire au levier. Soient en B et C des poids

égaux, tendant naturellement vers le centre de la Terre suivant les droites BA, CA; que le levier soit suspendu en D et maintenu par une puissance quelconque; je dis que les corps B et C pèsent autant que s'ils étaient réunis en D (ît soutenus par la même puissance.

(LeUrc de Fermât à Koberval du iG décembre iC36.)

8. . . Pour les paraboles cubiques, carrécubiques et ainsi de suile indéfiniment de deux en deux puissances, la méthode dont je me suis servi ne donne pas le rapport desconoïdes aux concs; j'ai au contraire

['J5, 97] TRADUCTION DES l'IÉCES LATINES. 297

une méthoilo qui donne le centre de gravité pour tous les conoïdes sans exception; votre proposition permettrait donc de trouver leur rapport aux cônes.

10... Soit un levier CAB {^fiti- lo)' do'it le milieu A est joint au centre N de la Terre par une droite AN perpendiculaire au levier. Soient en C et B des poids C et B égaux et semblables, qui tendent vers le centre suivant les droites CN, BN.

D'après votre principe, si ces droites NC, NB étaient perpendiculaires au levier, celui-ci serait maintenu en équilibre par une puissance en A égale à la somme des poids B-et (". JMais, puisque ces droites font des angles aigus NCA, NBA, il faut en A pour l'équilibre une puissance qui sera soit la même, soit plus petite, soit plus grande.

Si la même puissance détermine l'équilibre, le principe dont je me suis servi dans ma dernière lettre est vrai; or, si vous accordez ce principe, la démonstration de la proposition de mon levier s'ensuit immédiatement.

"S'il faut une puissance soit plus grande, soit plus petite, dans le premier cas, cette puissance devra être d'autant plus grande que les angles des droites CN, BN avec le levier seront plus petits; dans le second cas, elle devra être d'autant plus petite. Soit supposé comme sur la ligure, au-dessus du point A, le même levier suivant la même direction; les angles des lignes CN, BN augmenteront évidemment; donc la puissance nécessaire en A pour maintenir l'équilibre variera avec la distance au centre de la Terre, et par suite le poids composé des deux graves B et C variera lui-même avec cette distance.

l'EnlIAT. — \\\. 38

ŒUVHES DE FERMAT.

[■.17, '.1,SJ

Vous ne pouvez accorder la promiorc partie du dilemme, sans que votre proposition ne tombe aussitôt; il vous faut donc admettre, ou l)ien que la puissance en A varie avec la valeur des angles ou bien (|ue, tout en étant toujours la même quelle que soit la valeur de ces angles, clic est diirércnte de la puissance qui soutiendrait le levier si la direction des poids était perpendiculaire ii celui-ci.

Quelle que soit l'iiypotlièse que vous choisissiez, il sera prouvé très clairement que dans votre démonstration s'est glissé un paralogisme que la vérité que nous cherchons ne permet pas de dissimuler et que peut-être vous-même devrez reconnaître.

H. Sur la première ligure {Jig- 5o), qui est la (|ualri('me de vodc Lettre, voici ce que vous dites (') :

C'est là-dessus que repose toute votre démonstration.

Fig. .'m.

Mais en premier lieu, si vous dites que, pour toute valeur des angles égaux, la puissance nécessaire à l'équilibre est toujours la même, je démontrerai immédiatement ma proposition du levier; il vous faut donc accorder que cette puissance varie avec les angles.

Ceci admis, soit sur la figure N le centre de la Terre, où concourent les droites CK, BD, et soient en K et D des graves dans le rap])orl lionne, ce qu'on est libre de supposer, d'après votre construction.

Au reste elle n'a pour objet que de trouver le rapport des poids sur

(') l'uir le lexlc français, t. Il, p. -9, ligne 10 à page 80, ligue 4-

[.is.'.i'J] THADUCTION DES PIÈCES LATINES. 2!)!»

le levier en équilibre au moyen de puissances imaginaires qui pour toutes leurs parties agissent toujours suivant une même direction ; cai' autrementdes puissances de ce genre, qui n'existent nullement daiis la nature, seraient absolument inutiles.

Vous supposez en H et G des puissances égales aux poids E et D et agissant pour toutes leurs parties suivant une mémo direction. Puis vous concluez, par votre premier axiome, que les elTets des puissances H et E sont égaux; la puissance H agissant en G suivant HC perpendiculairement au levier, et le poids E agissant suivant la même perpendiculaire, ces puissances étant égales, agissant suivant la même droite, suivant le même angle sur le levier et ii la même distance de sonoenlre, l'action du poids E ne peut, suivant vous, diflerer de celle de la puissance imaginaire H.

Si vraisemblable que paraisse cette conclusion, elle ne peut que paraître Irt's fausse ii qui recberche la vérité intime des clioses.

Supposons, par exemple, que le poids E soit spliérique; toutes ses parties tendent vers le centre N suivant des droites qui concourent ii ce centre et dont les prolongements rencontrent le levier AG sous des angles aigus. Par conséquent, elles forment un ensemble de puissances agissant de part et d'autre du point C ii des distances égale> deux il deux, suivant des distances obliques par rapport au levier. Au contraire, toutes les parties de la puissance H étant supposées agir suivant une même direction, elles forment un ensemble de puissances agissant de part et d'autre du point C h des distances égales deux il deux, mais suivant des directions normales par rapport au levier.

Or, puisque la somme de toutes les parties de la puissance H est égale il la somme de toutes les parties de la puissance ou poids E (puisqu'on suppose que la puissance H est égale au poids E), il s'ensuit, d'après ce qui a été établi, que les effets des puissances H et E agissant en H et E sont inégaux; par suite, ce que notre démonstration conclut justement pour la puissance H est étendu à tort au poids E.

(Leltrc de Fermât à Roborval, de février iGS;.)

1. Soient donnés autant de points que l'on voudra, par exemple cinq, A, G, F, H, E {fig. 5i) (mais la proposition est générale), on demande de trouver un cercle tel que, si d'un point quelconque de la circonférence on mène des droites aux points donnés, la somme des carrés de ces droites soit égale a une aire donnée.

Je joins deux points quelconques A, E; des autres points donnés j'abaisse sur la droite AE les perpendiculaires GB, HD, FC. Je prends une fraction conditionnée, le cinquième dans l'exemple choisi, de la somme de tous les segments limités sur AE d'un coté par le point A, <!(' l'autre par les points donnés ou les pieds des perpendiculaires; ainsi soit AO = |(AB -f- AC + AD -i- AE); en 0 j'élève une perpendiculaire indéfinie ON sur laquelle je prends 01 égale à la même fraction conditionnée par le nombre des points (ici un cinquième) de la somme des perpendiculaires GB, F(^, HD. Je suppose enfin menées

Fig. 5i.

les cinq droites Al, GI, FI, HI, El. La somme de leurs carrés doit être inférieure à l'aire donnée; retranchez-la donc de cette aire et soit par exemple Zp' la différence. Prenez-en le cinquième (c'est-ii-dire la fraction conditionnée) et construisez le carré équivalent M-. Le cercle décrit de I comme centre, avec M pour rayon, satisfera à la question; c'est-à-dire que, quelque point que vous preniez sur sa circonférence, la somme des carrés des droites qui le joignent aux points donnés sera égale à l'aire donnée.

J'ajouterais bien ia démonstration, mafs elle est assez longue; et je préfèro vous inviter tous deux à la clicrcdier.

2. Je n'ai pas seulement trouve ces propositions, mais en général toutes celles des lieux plans, et même beaucoup de lieux dont Apollonius n'a rien écrit et qui cependant sont très beaux. Par exemple :

Ktant donnés trois points A, B, C {/ig- >2) en ligne droite, trouver une circonférence de cercle telle que, si l'on en prend un point N quelconque, AN'-t- NB- — NC- soit égal à une aire donnée.

J'ai éiçalement fait de nombreuses découvertes sur les lieux solides et en surface.

Je n'ajoute pas les cas du premier lieu plan ci-dessus; ils se distinguent immédiatement. Si les points donnés sont au nombre de trois seulement et forment par suite un triangle, le centre du cercle formant le lieu est le centre de gravité de ce triangle, proposition singulii'rc et assez remarquable.

Fi?. 52.

3. .Mais je ne m'arrête pas là. J'établis la proposition sous une forme très générale et j'en ai fait la construction :

Trouver le cercle lieu des points tels que si l'on joint l'un d'eux ii autant de points donnés que l'on voudra, et que l'on augmente ou diminue dans un rapport donné chacun des carrés des droites ainsi menées, la somme des carrés ainsi augmentés ou diminués soit égale à une aire donnée.

Exemple : Soient donnés, sur la figure précédente, les trois points A, ]}, C; on demande un cercle tel que, si l'on prend sur sa circonférence un point N quelconque, jNA^+ 2BN-4- 3CN- par exemple, fasse une

:{02 ŒUVRES DE FEUMAT. [178, isn, '2U',, 2(,7J

iiiro tlonnéo. Etendre la cofistniclioii à un nombre quelconque de |)oints et à des coeffîeients quelconques.

Apollonius ne semble pas avoir connu cette proposition qui est cerlainement très belle.

(I.cUre iJe Fermai à Morsenne, du ■>(') (léceml)rc i(iJ8.)

4. Si autant de points donnés que l'on voudra sont joints it un même point par des droites et si la somme des carrés de ces droites est égale à une aire donnée, leur point de concours sera sur une surface de sphère donnée de position.

(Lcttro de Fermât à Mersonne, du lo Tévrier r()'5().)