X^ — CjX- -h i3x = yJ-liiS — lii

On demande la valeur de x. Ce problème reçoit (rois solutions dont n(uis donnons la première, 3 — \f2, qui satisfait exactement à la queslion. Qui donnera les deux autres sera pour nous un grand oracle. »

(a's deux autres solutions sont : 3 4- \'i8 et 3 — \/8.

(Lcttro de Fermai à lloberval. août idjo.)

6. I*ar un point donné à l'extérieur ou à l'intérieur d'une para- Ixde, mener une droite qui détermine un segment de parabole d'aine (b)nnée. Si le point est intérieur à la parabole, déterminer l'aire niinimaqui peut être ainsi retranchée de la parabole par une droite passant par le point donné.

(Lettre de Format à Gassendi, ifijO?)

1. Galilée a défini mouvement uniformément a.ccéléré celui dans le(]uel, il partir du repos, les accroissements de vitesse sont égaux pour des temps égaux.

f2GS, 200] TRADUCTION DES PIECES LATINES. :W$

Quant à celui dans locjucl les accroissements tle vitesse seraient égaux pour îles espaces parcourus égaux, il dit qu'il convient d'autant moins pour représenter le mouvement de chute des graves, que, suivant celle hypothèse, le mouvement se ferait dans un instant, comme il pourrait, dit-il, le démontrer trçs facilement.

On peut, pourvu qu'elle soit vraie, accorder à ce perspicace Ivncéen la conclusion (|u'il n'a pas démontrée. Mais s'il a, du premier coup d'œil, vu ou cru voir dans l'ohscurité la démonstration, on ne s'étonnera pas qu'elle soit réclamée par ses lecteurs, qui ne sont pas lyncéens.

Pour maintenir donc l'honneur de Galilée et pour faire qu'il n'y ail plus de doute sur sa proposition et qu'on n'en dispute plus en invo- «fuant des raisons seulement prohahles, je vous envoie cette démonstration suivant la méthode d'Archimède.

2. Si autant de droites que l'on voudra, issues d'un même point, sont en progression géométrique continue, leurs din'érences seront également en progression suivant la même raison.

Soient, par exemple, les droites AF, BF, CF, DF, EF, etc. {fig- 7<) ) <'n progression continue, leurs dilTérences AB, B(], CD, DE seront en progression suivant la même raison.

Pis- 79n r n F

En cfTet, si AF:BF:: BF:CF, et que l'on retranche rcspcctivemeni chacun des deux derniers termes du premier qui lui correspond, on aura dans le même rapport AB iBC : : AF : BF, et de même pour les autres. On projuvera de même que AF : (>F :: AB : CD; (|ue

DF: DF::I{C:I)E, elc.

3. Si l'on imagine un point se mouvant de F vers A {fig- 8o) d'un mouvement continuellement accéléré suivant le rapport des espaces [)arcourus, et que l'on prenne une série de longueurs en progression

•'50i ŒUVRES DE FERMAT. [îCO, 270]

continue, comme AF, BF, CF, DF, EF, etc., le temps dans lequel l'es- |)ace DE sera parcouru sera égal au temps du parcours de l'espace DC;

Fis- 80.

en un mot, chacun des espaces ED, DC, CB sera parcouru dans un même temps.

4. Je prouverai d'abord que les espaces CB, BA sont parcourus dans 1(^ même temps, d'après l'hypothèse faite sur le mouvement.

Si le temps pour AB n'est pas égal en effet au temps pour BC, il sera soit plus grand, soit plus petit. *

Supposons-le d'abord plus grand. Le rapport du temps pour AB au temps pour BC sera donc celui d'une longueur plus grande que BF à 15F. Soit Z cette droite, on aura : Temps AB : TempsBC : : Z : BF.

Prenez entre AF, BF autant de moyennes proportionnelles RF, MF, NF qu'il faudra pour que la plus petite, soit NF, soit inférieure à Z. Qui ne voit que ce résultat sera nécessairement atteint soit par l'insertion d'une seule moyenne, soit par le redoublement de l'opération effectué autant que de besoin?

De la sorte, AF, RF, MF, NF, BF forment une progression continue, et, comme on a AF : BF : : BF :CF :: AB :BG, on peut continuer la même progression suivant le même rapport, de façon à avoir un même nombre de termes BF, OF, VF. XF, CF, de BF ii CF.

Ceci posé, considérons chacun des espaces AR, RM, MN, NB, et comparons-les respectivement aux espaces BO, OV, VX, XC, chacun à chacun, c'est-à-dire AR à BO, etc.

Si, sur l'espace AR, le mouvement était uniforme selon le degré de vitesse acquis on R, et si, sur l'espace BO, le mouvement était également uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on aurait

Temps pour AR AR Vilesse en R

Temps pour RO RO Vilesse eu R

[270,272] THADLCTION DKS PIKCKS L\TIi\ES. 305

ce qui est l)ien connu et a, au reste, été démontré par Galilée iiiiiiiéinc, prop. 5 du Traité du inouveincnl uniforme.

Mais, par la première proposition, AU :B0 ; : AF : BF, et d'après l'hypotlièse de l'accélération du mouvement suivant les espaces : Vitesse en B : Vitesse en R : : BF : RF. Donc

Temps pour AU AF HF AF temps pour ÎTo ~" ÏÏF ^ HF ~ KF*

Si maintenant on suppose, sur l'espace RM, un mouvement uniforme suivant le degré de vitesse acquis en M, et, sur l'espace OV, un mouvement uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on prouvera

de même que

TempsMIl : TempsOV :: \\V : MF.

De même, considérant les vitesses aux points N, V : TempsMN : Temps V\ :: MF : NF.

Knfin, considérant les vitesses aux points B et X pour les derniers

espaces :

TempsNB : Temps \C :: NF : BF.

Mais, d'après la construction, les rapports AF : RF, RF : MF, MF : NF, NF:BF sont égaux.; par suite, en sommant les temps suivant AB et suivant BC, le rapport de ces temps totaux pour des mouvements définis comme nous l'avons dit sera égal au rapport AF : RF ou NF : BF.

Mais le temps du mouvement accéléré sur AR est inférieur au temps du mouvement uniforme sur AR avec la vitesse en R; en elTct, par hypothèse, la vitesse croît continuellement de R à A; donc, dans le mouvement accéléré, le mobile va plus vite de R en A que s'il parcourait l'espace RA avec la vitesse qu'il a en R.

On prouvera de même que le temps du mouvement accéléré sur RM est inférieur au temps du mouvement uniforme sur RM, avec une vitesse correspondant à celle acquise au point extrême M.

Enfin on établira que, pour le mouvement accéléré sur la ligne totale AB, suivant l'hypothèse faite, le temps sera moindre que pour KtBMAT. — m ■ ^9

300 ŒUVRES DE FERMAT. [î72, Î73]

ce mouvcmont imaginaire composé de mouvements nniformcs, avec (les vitesses correspondant à celles acquises aux points extrêmes des espaces AR, RM, MN, NB.

Mais, au contraire, le temps du mouvement accéléré sur RO est plus long que celui du mouvement uniforme sur RO avec la vitesse au point R, parce que la vitesse croît toujours de 0 à R dans le mouvement accéléré, d'après l'hypothèse; elle reste donc toujours inférieure à la vitesse correspondant au point R.

En raisonnant de même, on conclura que, suivant l'hypothèse faite, le mouvement accéléré sur la ligne totale ]}C demandera un temps plus long que le mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes avec les vitesses correspondant aux premiers points des espaces RO, OV, VX, XC.

Ainsi le temps du mouvement accéléré sur AR est moindre que le temps du mouvement imaginaire sur AR, et au contraire le temps du mouvement accéléré sur RC est })lus grand que le temps du mouvement imaginaire sur RC; donc le rapport des temps des mouvements accélérés sur AR et RC est moindre que le rapport des temps des mouvements imaginaires sur les mêmes lignes AR et RC. Mais le premier de ces deux rapports a éti' supposé égal à celui des droites Z:RK; le second a été démontré égal ii celui des droites NI' ; RF. Donc

ce qui est ahsurde, puisque Z > NF.

Donc le temps du mouvement accéléré sur AR n'est pas plus grand ((ue celui du mouvement a::céléré sur RC. On démontrera avec la môme facilité que le temps du mouvement accéléré sur AR n'est pas plus petit que celui du mouvement accéléré sur RC.

Supposons-le en effet plus petit s'il est possible; le rapport des temps des mouvements accélérés sur AR et RC sera donc égal à celui d'une droite inférieure à RF et de RF. Soit G cette droite inférieure à RF, et par suite : Temps AR : Temps RC : : G : RF.

Entre RF et CF intercalons une série de moyennes proportionnelles

dont la plus grande OF soit plus grand(î que; G. En employant le même raisonnement que dans la première partie de la démonstration, et en comparant les espaces sur AB entre les extrémités des moyennes avec les espaces analogues BO, OV, VX, XC, en changeant toutefois ios-vitesses uniformes, et en supposant, par exemple, que le mouvement sur AR se fasse avec le degré de vitesse acquis en A; que le mouvement sur BO se fasse avec la vitesse acquise en 0, et de même pour les autres espaces; il est clair que toutes les vitesses sur AB seront augmentées par la substitution des mouvements uniformes, tandis que sur BC elles seront diminuées, contrairement ii ce qui avait lien d'après les suppositions de la première partie de la démonstration. On conclura dès lors que le rapport des temps des mouvements uniformes sur AR et BO est égal à celui de RF h AF, puisque, si les vitesses augmentent, les temps diminuent.

De même, pour les mouvements uniformes :

TempsHM : TempsOV : : M F : MI{,

et enfin le rapport des temps des mouvements imaginaires composés de mouvements uniformes sur AB et BC sera égal au rapport RF : Al', puisque tous les rapports des temps partiels sont égaux à ce même rajyjort, qui vaut d'ailleurs OF:BF, d'après la première proposition.

Mais sur AB le temps du mouvement accéléré est plus grand que le temps du mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes, puisque nous avons supposé (jue, dans ces mouvements uniformes, les vitesses sont augmentées (on a pris en elTet celles (|ui répondent aux premiers points des espaces AR, RM, etc.); au contraire, sur BC le temps du mouvement accéléré est moindre que le temps du mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes, les vitesses dans ce cas étant diminuées et répondant aux derniers points des espaces BO, OV, etc.

Donc le rapport du temps des mouvements accélérés sur AB et BC est supérieur au rapport des temps des mouvements imaginaires sur les mêmes droites AB et BC. Mais le premier de ces deux rapports est

308 (EUVRES J)E FERMAT. [m, î'^i

supposé égal au rapport G: BF; le socoud a été démontré égal au rapport OF : BF; donc G : BF > OF : BF, ce qui est absurde, puisque (î <^ OF, par construiMion.

Par conséquent, le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas inférieur au temps du mouvement accéléré sur BC; mais nous avons prouvé qu'il n'est pas non plus supérieur; donc ces deux temps sont égaux.

Par la même raison, il est clair que le temps du mouvement accéléré sur CD est é^al à celui du mouvement accéléré, soit sur AB, soit sur BC, et, en continuant indéfiniment le même raisonnement, que tous les espaces sans exception sont parcourus en des temps égaux.

5. (]ela établi, une troisième proposition va révéler la pensée de Galilée ou montrer la vérité de son alfirmation.

Imaginons le mouvement d'un grave tombant du point A, où il est en repos, jusqu'en H (/îg- 8i), par exemple, et supposons, s'il est ])os-

Fig. 8..

sible, que la vitesse de cbute s'accélère en raison de l'espace déjà parcouru. Admettons que le mouvement de A à H ait demandé une minute ou tout autre temps déterminé, et supposons que le mouvement se continue de H en K; je dis que le mouvement sur HK se fera en un instant.

Si, en elTet. il ne se fait pas en un instant, il demandera un certain temjjs déterminé, qui pourra être multiplié par un nombre tel que le produit dépasse le temps employé pour parcourir AH. Supposons que ce multiplicateur soit 5, c'est-;j-dire que 5 fois le temps du mouvement sur HK fasse plus que le temps du mouvement sur AH.

Prenez GA troisième proportionnelle aux droites KA, HA et continuez la série des proportionnelles suivant la même raison jusqu'à ce que le nombre des espaces entre leurs extrémités surpasse ri; soient

[•27.-., Î7G, Î82] THAÏ) UCT ION DES PIECES LATINES. 300

par exemple au delà du point II six espaces donnés par celte progression continue, HG, GF, ¥E, ED, DC, CH.

(]ommc on vient de le démontrer, le temps du mouvement sur H(j est égal au temps du mouvement sur HK; il en est de même du mouvement sur GF, etc. Donc le temps du mouvement sur HB sera six fois le temps du mouvement sur HK; mais cinq fois le temps du mouvement sur HK fait plus que Je temps du mouvement sur AH; donc, a fortiori, le temps du mouvement sur HB dépasse le temps du mouvement sur HA, ce (|ui est absurde.

Donc l'assertion de Galilée est vraie, quoiqu'il ne l'ait pas démontrée.

6. Je vous ai écrit, illustre Gassend, en termes brefs et familiers, voulant seulement vous éviter de nouvelles difficultés de la part de Cazré ou de tout autre adversaire de Galilée; on en viendrait ainsi à des volumes sans fin, alors qu'une seule démonstration peut, de l'aveu même des auteurs, renverser leur travail ou le rendre inutile et superflu.

(Lellre do Fermât à Aiizoul"? i6iS.)

Faire toujours disparaître les irrationelles dans les équations algébriques est une opération diflîcile et qui jusqu'à présent n'a pas été sufllsamment travaillée par les analystes.

Supposons, par exemple, plus de (|uatre radicaux dans une équation dont il faille faire disparaître les irrationelles suivant les règles de l'art. L'analyste ne ])ourra guère se tirer d'embarras; |>lus il poussera ses calculs, plus la difficulté augmentera, jusqu'à ce (jue, fatigué de répéter sans fin les opérations, il reconnaisse qu'il n'a rien changé. L'Analyse doit-elle s'arrêter à cet obstacle et se laisser ainsi imposeisilence par les irrationelles? H faut que les savants étudient cette question et découvrent une méthode satisfaisante.

:M0 œuvres de FERMAT. [2S3, 28i, 293]

Soit proposé par exemple :

\lbn — a'-+ ^=2-1- da -t- a'- -¥- \J ma -Y- \Jd- — a- — \/ra + a- ^= h -h a .

Que l'analyste opère sur cette équation suivant les règles de l'arl el qu'il se débarrasse des radicaux, ou bien qu'il reconnaisse l'insullisancc des règles.

(Lcltrc (lo Fermât à Carcavi, du 20 aoiil iGJo.)

2. Soit quatre termes irrationcls homogènes, dont la somme soit, tians le cas proposé, égalée à une droite, suivant ré(|uation

'{/:■■ a — n-'-i- (//>'• — d-On -+- a' -h \J ba — n-+ \/a''' — h' a z= h -h a — c.

On demande la tangente en un point donné de la courbe dont celte è(]nation [en a et c] représente la propriété spécifique.

(LcUrc de Pascal à Formai, du ■>t> jiiillel i03i.)

4. Soit un nombre quelconque de lettres, par exemple les huit A. H, {], 1), E, F, G, H; formez-en toutes les combinaisons 4 à 4, .'5 à 5, () à 6, jusqu'à celle des 8. Je dis que, si l'on ajoute à la moitié dn nombre des combinaisons 4 à 4 (savoir 3 ^ moitié de 70) le nombre d(-s combinaisons .) à 5 (qui est 5G), celui des combinaisons G à G ( (]ui est 28), celui des combinaisons 7 à 7 (qui est 8), enfin celui des combinaisons 8 à 8 (c'est-à-dire i), on a le quatrième terme de la progression géométrique commençant à 2 et ayant 4 pour raison ; je dis 1(! (|uatrièmc, parce que 4 est la moitié de 8.

l.es termes de cette progression géométrique, commençant à -2 el ayant 4 pour raison, sont en effet: 2, 8, 32, 128, 012, etc. Le 1"' est 2, le 2^ est 3, le 3* est 32 et le 4'' "^st 1 28 ; or

laS =: 3 j + 5G + 28 + 8 + I ;

ce terme est ainsi la somme des nombres des combinaisons de 4. 5, G, 7 et 8 lettres.

i:%, 21)7, 333] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. :jll

8. ... r.,a (.Unéronco tic deux cubes consécutifs quclcon(|ues, diiiiiiiuéo (le l'uuité, est égale au sextuple de la somme des uouibrcs ju^- (|u'à la racine du [)lus petit cube inclusivement.

Soient R et S les deux racines, qui diiïèrent d'une unité; je dis que |{' S' — I est égale au sextuple de la somme des nombres depuis i jusqu'à S.

Soit S = a, et par suite R = a + i,

11' ou (rt 4- i)^= rt'-(- 3a-+ 3rt + i ' Cl S' ou «'=«•'. La diirérence R' — S'= '>a- 4- 3a -f- i\ et en retranchant l'unité,

Mais, d'après le Icmmc, le double de la somme des nombres depuis I jusqu'à S ou a est a{a -+- i) ou a'- -I- a. Donc 3a'- -+- 3a sera le sextuple de celte somme.

Or 3a- 4- 3rt = K' - S' - i ; donc R-' - S' - i est le sextuple de la somme des nombres depuis i juscju'à S ou a. c. o. v. n.

l'ur.MiF.r, i)i,ri aux M.\riii:M.VTir,u;NS, '